1. Determine os valores de alpha e beta tais que a função abaixo seja contínua. Após, reescreva o sistema substituindo os valores encontrados e esboce seu gráfico.
f(x)= 2 x-1, & se x <=-1 x^2-2 alpha x+beta, & se -1<x<1 4-x, & se x >= 1

Passo 1

Vamos resumir a questão: Precisamos encontrar os valores de alpha e beta que tornam a função f(x) contínua. Isso significa que não deve haver “quebra” no gráfico da função nos pontos onde sua definição muda, ou seja, em x = -1 e x = 1. Para resolver, vamos usar o conceito de continuidade e igualar os limites laterais nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir a continuidade em x = -1.
Definição da continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, que também é igual ao próprio valor da função nesse ponto.
Para x = -1:
  • Quando x <= -1, f(x) = 2x - 1.
  • Quando -1 < x < 1, f(x) = x^2 - 2alpha x + beta.
Calculando o limite à esquerda:
limx to -1^- f(x) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3
Calculando o limite à direita:
limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 - 2alpha(-1) + beta = 1 + 2alpha + beta
Para que a função seja contínua em x = -1:
-3 = 1 + 2alpha + beta (1)

Passo 3

Agora, vamos garantir a continuidade em x = 1.
Para x = 1:
  • Quando -1 < x < 1, f(x) = x^2 - 2alpha x + beta.
  • Quando x >= 1, f(x) = 4 - x.
Calculando o limite à direita:
limx to 1^+ f(x) = 4 - 1 = 3
Calculando o limite à esquerda:
limx to 1^- f(x) = (1)^2 - 2alpha(1) + beta = 1 - 2alpha + beta
Para que a função seja contínua em x = 1:
3 = 1 - 2alpha + beta (2)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
-3 = 1 + 2alpha + beta & (1) 3 = 1 - 2alpha + beta & (2)
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
3 - (-3) = (1 - 2alpha + beta) - (1 + 2alpha + beta)
6 = -4alpha
alpha = -64 = -32
Substituindo alpha = -32 na equação (1):
-3 = 1 + 2(-32) + beta
-3 = 1 - 3 + beta
-3 = -2 + beta
beta = -1

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são [\alpha = -\dfrac{3}{2}) e . Substituindo esses valores, a função fica:
Com esses parâmetros, o gráfico da função será contínuo, sem interrupções nos pontos , conectando as diferentes partes da função de forma suave.

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