Considere a equação diferencial
x^2 y^prime prime+x y^prime-14 y=raizx, x>0
(a) Encontre a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada.
(b) Usando o método de variação dos parâmetros, encontre uma solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y'' + x y' - tfrac14,y = raizx, x>0
Isso é uma equação de Euler–Cauchy no formato
x^2y'' + a,x,y' + b,y = g(x),
cuja parte homogênea se resolve por y=x^r. Depois, para obter uma solução particular de
x^2y'' + x y' - tfrac14,y = raizx,
usaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
x^2y'' + x y' - tfrac14,y = 0
com y=x^r, substituímos e obtemos o polinômio característico
r(r-1) + r - tfrac14 = 0 Longrightarrow r^2 - tfrac14 = 0 Longrightarrow r = pm tfrac12

Passo 3

Logo as duas soluções fundamentais são
y1(x)=x^1/2, y2(x)=x^-1/2,
e a solução complementar é
yc(x)=C1,x^1/2 + C2,x^-1/2

Passo 4

Colocando a equação na forma padrão
y'' + 1xy' - 14x^2y = x^-3/2,
identificamos f(x)=x^-3/2.

Passo 5

O Wronskiano de y1,y2 é
W = x^1/2 & x^-1/2 12x^-1/2 & -12x^-3/2 = -,x^-1

Passo 6

Pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u1' = -,y2,f(x)W ;, u2' = y1,f(x)W
Substituindo y1,y2,f,W:
u1' = -,x^-1/2,x^-3/2-,x^-1 = x^-1, u2' = x^1/2,x^-3/2-,x^-1 = -1

Passo 7

Integramos para achar u1,u2:
u1(x)=integral x^-1dx=ln x, u2(x)=integral (-1),dx = -,x
Então a solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = (ln x),x^1/2 ;-; x,x^-1/2 = x^1/2l(ln x - 1r)

Resposta

(a) yc(x)=C1,x^1/2+C2,x^-1/2
(b) Uma solução particular é
yp(x)=x^1/2l(ln x - 1r)

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