1. Resolva a EDO: y " +y=tan (x) usando variacao dos parametros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' + y = tan(x)
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo principal é resolver a parte homogênea, obter duas soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
yh'' + yh = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo as soluções fundamentais são
y1(x) = cos(x), y2(x) = sin(x)

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de e :

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que se buscamos
yp = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x),
então
u1'(x) = -,y2(x),tan(x)W(x), u2'(x) = y1(x),tan(x)W(x)
Substituindo y1, y2 e W=1, temos
u1'(x) = -sin(x),tan(x) = -sin^2(x)cos(x) = -sec(x) + cos(x),
u2'(x) = cos(x),tan(x) = sin(x)

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integrall(-sec(x)+cos(x)r),dx = -integralsec(x),dx + integralcos(x),dx = -lnl|sec(x)+tan(x)r| + sin(x),
u2(x) = integralsin(x),dx = -cos(x)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1(x)cos(x) + u2(x)sin(x)
Substituindo u1 e u2:
yp = l[-ln|sec(x)+tan(x)| + sin(x)r]cos(x) + l[-cos(x)r]sin(x)
Repare que sin(x)cos(x)-cos(x)sin(x)=0, então
yp = -cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) ;-;cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

Resposta

y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) ;-;cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

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