Considere a equação diferencial
t^2 y^prime prime-2 t y^prime+2 y=0
Encontre a (única) solução com y(1)=3 e y^prime(1)=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
t^2 y'' - 2 t y' + 2 y = 0
E as condições iniciais são y(1) = 3 e y'(1) = 5 . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais de Euler (ou Cauchy-Euler). Essas equações têm a forma geral:
a t^2 y'' + b t y' + c y = 0
Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da nossa equação:
a = 1, b = -2, c = 2
Agora, montamos a equação característica substituindo y = t^m . Isso nos dá:
a m(m-1) + b m + c = 0
Substituindo os valores:
1 cdot m(m-1) - 2 m + 2 = 0
Simplificando:
m^2 - m - 2m + 2 = 0 Rightarrow m^2 - 3m + 2 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática m^2 - 3m + 2 = 0 . Utilizando a fórmula de Bhaskara:
m = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as raízes são:
m1 = 2 e m2 = 1

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 t^m1 + C2 t^m2 = C1 t^2 + C2 t
Agora, precisamos determinar as constantes C1 e C2 usando as condições iniciais.

Passo 5

Primeiro, aplicamos y(1) = 3 :
3 = C1 (1)^2 + C2 (1) Rightarrow 3 = C1 + C2
Essa é nossa primeira equação.

Passo 6

Agora, vamos encontrar y'(t) . Derivando a solução geral:
y'(t) = 2 C1 t + C2
Aplicando y'(1) = 5 :
5 = 2 C1 (1) + C2 Rightarrow 5 = 2 C1 + C2
Essa é nossa segunda equação.

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 3 2 C1 + C2 = 5
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2 C1 + C2) - (C1 + C2) = 5 - 3 Rightarrow C1 = 2
Agora, substituindo C1 = 2 na primeira equação:
2 + C2 = 3 Rightarrow C2 = 1

Resposta

A solução única da equação diferencial com as condições dadas é:
y(t) = 2 t^2 + t

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