Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
E as condições iniciais são e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais de Euler (ou Cauchy-Euler). Essas equações têm a forma geral:
Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da nossa equação:
Agora, montamos a equação característica substituindo . Isso nos dá:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática . Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais.
Passo 5
Primeiro, aplicamos :
Essa é nossa primeira equação.
Passo 6
Agora, vamos encontrar . Derivando a solução geral:
Aplicando :
Essa é nossa segunda equação.
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2 C1 + C2) - (C1 + C2) = 5 - 3 Rightarrow C1 = 2
Agora, substituindo C1 = 2 na primeira equação:
2 + C2 = 3 Rightarrow C2 = 1
Resposta
A solução única da equação diferencial com as condições dadas é: