Considere a função u(x, y)=ln (raizx^2+y^2+2) e responda os itens abaixo:
Encontre a taxa de variação máxima de f em (1,1).

Passo 1

Resumindo: temos a função
u(x,y)=lnl(raizx^2+y^2+2r)
e queremos a taxa de variação máxima de u no ponto (1,1). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente: a taxa máxima é o módulo do gradiente de u naquele ponto.

Passo 2

Primeiro simplificamos u. Como ln(raizQ)=tfrac12ln(Q) com Q=x^2+y^2+2, escrevemos
u(x,y)=12lnl(x^2+y^2+2r)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e montamos o gradiente.

Passo 3

As derivadas parciais são
partial upartial x =12cdot1x^2+y^2+2cdot2x =xx^2+y^2+2, partial upartial y =yx^2+y^2+2
Logo o gradiente é
nabla u(x,y) =l(xx^2+y^2+2,,yx^2+y^2+2r)

Passo 4

Em (1,1) temos x^2+y^2+2=1+1+2=4, logo
nabla u(1,1)=l(tfrac14,,tfrac14r)
A taxa de variação máxima é o módulo desse vetor:

Passo 5

|nabla u(1,1)| =raizl(tfrac14r)^2+l(tfrac14r)^2 =raiztfrac116+tfrac116 =raiz24

Resposta

raiz24

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