Encontre f sabendo que f(0)=2 e f^prime(0)=-1 e
f^prime prime(x)=2 sen(2 x)-3 cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função f(x) sabendo que f(0) = 2 , f'(0) = -1 e que a segunda derivada de f , ou seja, f''(x) , é igual a 2 sin(2x) - 3 cos(2x) . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integrações, para achar essa função.

Passo 2

Primeiro, como temos a segunda derivada f''(x) , precisamos integrar essa expressão para encontrar a primeira derivada f'(x) . A integração da função nos ajuda a “subir” de uma derivada para outra.
f'(x) = integral f''(x) , dx = integral ( 2 sin(2x) - 3 cos(2x) ) dx

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 2 sin(2x) , dx = -cos(2x) + C1 (onde C1 é a constante de integração)
  2. integral -3 cos(2x) , dx = -32 sin(2x) + C2
Juntando tudo:
f'(x) = -cos(2x) - 32 sin(2x) + C
Aqui, combinamos as constantes C1 e C2 em uma única constante C .

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial f'(0) = -1 para encontrar C .
Substituindo x = 0 na expressão de f'(x) :
-1 = -cos(0) - 32 sin(0) + C
Sabemos que cos(0) = 1 e sin(0) = 0 , então:
-1 = -1 - 0 + C implies C = 0
Então, a expressão de f'(x) fica:
f'(x) = -cos(2x) - 32 sin(2x)

Passo 5

Agora, vamos integrar f'(x) para encontrar f(x) :
f(x) = integral f'(x) , dx = integral ( -cos(2x) - 32 sin(2x) ) dx
Integrando termo a termo:
  1. integral -cos(2x) , dx = -12 sin(2x) + C3
  2. integral -32 sin(2x) , dx = 34 cos(2x) + C4
Juntando tudo:
f(x) = -12 sin(2x) + 34 cos(2x) + C

Passo 6

Usamos a condição inicial f(0) = 2 para encontrar C .
Substituindo x = 0 na expressão de f(x) :
2 = -12 sin(0) + 34 cos(0) + C
Sabemos que sin(0) = 0 e cos(0) = 1 , então:
2 = 0 + 34 + C implies C = 2 - 34 = 54

Resposta

A função desejada é:
f(x) = -12 sin(2x) + 34 cos(2x) + 54

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