Verifique que duas soluções y1(t) e y2(t), de certa equação linear homogênea de segunda ordem, NÃO geram a solução geral se:
(a) possuem um zero em comum, ou seja, se y1(s)=0=y2(s), para algum s.

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
e duas de suas soluções y1(t) e y2(t). Para gerar a solução geral precisamos que y1 e y2 sejam linearmente independentes, o que equivale a exigir que o Wronskiano
W[y1,y2](t) = y1(t) & y2(t) y1'(t)& y2'(t)
seja diferente de zero em todo intervalo considerado.

Passo 2

Suponha que existe s tal que
y1(s)=0 e y2(s)=0
Então o Wronskiano em t=s vale
W[y1,y2](s) = y1(s),y2'(s);-;y2(s),y1'(s) =0cdot y2'(s)-0cdot y1'(s) =0

Passo 3

Pelo Teorema de Abel temos a relação
W[y1,y2](t) = W[y1,y2](s),expl(-!integrals^tp(tau),dtaur)
Como W[y1,y2](s)=0, segue que W[y1,y2](t)=0 para todo t. Logo y1 e y2 são linearmente dependentes e não formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Duas soluções que compartilham um mesmo zero têm Wronskiano nulo em todo o intervalo, portanto são linearmente dependentes e não geram a solução geral da equação.

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