Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
51) sum k+1raizk^3 / 2+1

Passo 1

Temos a série numérica
sumk=1^infty k+1raizk^3/2+1
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries e vamos usar o teste da divergência (também chamado de teste do termo geral).

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, calculamos o limite do termo geral
ak = k+1raizk^3/2+1
quando ktoinfty. Se limktoinftyakneq0, a série diverge.

Passo 3

Fatorando k no numerador e extraindo k^3/2 debaixo da raiz, temos
ak =k,(1+1/k)raizk^3/2,(1+1/k^3/2) =k,(1+1/k)k^3/4raiz1+1/k^3/2 =k^1/4,1+1/kraiz1+1/k^3/2
Tomando o limite,
limktoinftyak =limktoinftyk^1/4,1+1/kraiz1+1/k^3/2 =infty,,
ou seja, não tende a zero.

Passo 4

Como limktoinftyakneq0, o teste da divergência garante que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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