Considere a equação diferencial
. Esboce o campo de direções
e tente se convencer de que
é uma solução da equação.
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar o campo de direções da equação diferencial
— ou seja, em cada ponto
no plano desenhar um pequeno segmento cuja inclinação é
e, em seguida, verificar que
é de fato uma solução dessa ODE.
Passo 2
Para esboçar o campo de direções, basta escolher uma malha de pontos
e em cada ponto traçar um segmento com inclinação
. Por exemplo:
- Em
temos , então o segmento tem inclinação ( ). - Em
temos , então o segmento é horizontal. - Em
temos , então o segmento tem inclinação . - Em
temos , então o segmento é mais inclinado (sobe para cada em ). - E assim por diante.
Ligando esses segmentos, nota-se que quando
está acima de
o campo “aponta” para baixo (inclinação negativa) e, quando
está abaixo de
, aponta para cima (inclinação positiva).
Passo 3
Observe agora a reta
. Para pontos nessa reta,
ou seja, em toda reta
o campo de direções dá sempre segmentos com inclinação constante igual a
. Logo, uma curva que fique exatamente sobre a reta
e tenha derivada
em cada ponto é perfeitamente alinhada com o campo.
Passo 4
Verifiquemos diretamente que
satisfaz a equação:
- Calculamos a derivada:
- Substituímos na ODE:
Como os dois lados coincidem,
é de fato uma solução.
Resposta
O campo de direções é dado por segmentos de inclinação
e a função
é solução da equação diferencial porque possui derivada
e satisfaz
.