Considere a equação diferencial y^prime=1+x-y. Esboce o campo de direções ^1 e tente se convencer de que y(x)=x é uma solução da equação.
[1]Página 2 de 2

  1. ^1 Ou seja, esboce o campo vetorial X(x, y)=(1,1+x-y). ↩︎

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar o campo de direções da equação diferencial
y' = 1 + x - y
— ou seja, em cada ponto (x,y) no plano desenhar um pequeno segmento cuja inclinação é
dydx = 1 + x - y,
e, em seguida, verificar que
y(x)=x
é de fato uma solução dessa ODE.

Passo 2

Para esboçar o campo de direções, basta escolher uma malha de pontos (x,y) e em cada ponto traçar um segmento com inclinação ,1 + x - y. Por exemplo:
  • Em (0,0) temos ,1 + 0 - 0 = 1, então o segmento tem inclinação 1 ( 45circ).
  • Em (0,1) temos ,1 + 0 - 1 = 0, então o segmento é horizontal.
  • Em (0,2) temos ,1 + 0 - 2 = -1, então o segmento tem inclinação -1.
  • Em (1,0) temos ,1 + 1 - 0 = 2, então o segmento é mais inclinado (sobe 2 para cada 1 em x).
  • E assim por diante.
Ligando esses segmentos, nota-se que quando y está acima de x+1 o campo “aponta” para baixo (inclinação negativa) e, quando y está abaixo de x+1, aponta para cima (inclinação positiva).

Passo 3

Observe agora a reta y=x. Para pontos nessa reta,
1 + x - y = 1 + x - x = 1,
ou seja, em toda reta y=x o campo de direções dá sempre segmentos com inclinação constante igual a 1. Logo, uma curva que fique exatamente sobre a reta y=x e tenha derivada 1 em cada ponto é perfeitamente alinhada com o campo.

Passo 4

Verifiquemos diretamente que y(x)=x satisfaz a equação:
  • Calculamos a derivada:
y'(x) = ddx(x) = 1
  • Substituímos na ODE:
1 = 1 + x - y(x) = 1 + x - x = 1
Como os dois lados coincidem, y(x)=x é de fato uma solução.

Resposta

O campo de direções é dado por segmentos de inclinação ,1 + x - y e a função
y(x) = x
é solução da equação diferencial porque possui derivada 1 e satisfaz
,1 = 1 + x - x.

Exercícios relacionados