Determine soluções:
para o PVI y^prime prime(t)+y(t)=0, y(0)=1, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)+y(t)=0, y(0)=1, y'(0)=-1
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica
r^2 + 1 = 0,
cujos zeros são r=pm i. Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral real é
y(t)=C1cos(t)+C2sin(t)

Passo 3

Derivando ,y(t) em relação a t obtemos
y'(t)=-C1sin(t)+C2cos(t)
Em t=0, as condições iniciais dão
y(0)=C1=1,
y'(0)=C2=-1

Passo 4

Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, concluímos que
y(t)=cos(t)-sin(t)

Resposta

y(t)=cos(t)-sin(t)

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