Esboce o gráfico de uma função f que seja definida em R e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Descontinuidade removível em -2 , descontinuidade infinita em 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função f que está definida em todos os números reais ( R ) e é contínua, mas tem duas descontinuidades específicas: uma removível em x = -2 e uma infinita em x = 2 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas descontinuidades e como representá-las no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre descontinuidades. Uma descontinuidade removível é um ponto onde a função não está definida ou não tem o valor correto, mas fazendo uma pequena “ajuste” no ponto, podemos tornar a função contínua. Já a descontinuidade infinita ocorre quando a função “explode”, ou seja, se aproxima de infinito positivo ou negativo naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar desenhando uma função contínua, como uma reta ou uma parábola. Para simplificar, vou escolher uma função racional, pois elas frequentemente apresentam esse tipo de descontinuidade. Por exemplo, considere f(x) = (x+2)(x+2)(x-2) . Simplificando, temos f(x) = 1x-2 quando x neq -2 .

Passo 4

Agora, vamos analisar as descontinuidades:
  1. Em x = -2 : A função original tinha (x+2) no numerador e denominador, o que cancela, deixando f(x) = 1x-2 para x neq -2 . Porém, em x = -2 , a função não está definida, mas podemos “remover” essa descontinuidade definindo f(-2) = 1-2-2 = -14 .
  2. Em x = 2 : No denominador, temos x-2 , o que faz com que a função não esteja definida e, ao mesmo tempo, o valor tende ao infinito quando x se aproxima de 2. Isso caracteriza uma descontinuidade infinita.

Passo 5

No gráfico, isso fica assim:
  • A função f(x) = 1x-2 é uma hipérbole com uma assíntota vertical em x = 2 .
  • Em x = -2 , há um ponto removível. Então, no gráfico, marcaríamos um ponto aberto em x = -2 e depois colocamos um ponto fechado em (-2, -14) para “preencher” a descontinuidade.

Resposta

O gráfico de f é uma hipérbole com uma assíntota vertical em x = 2 , possui um ponto aberto em x = -2 e um ponto fechado em (-2, -14) , representando a descontinuidade removível em -2 e a descontinuidade infinita em 2 .

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