Esboce o gráfico de uma função
que seja definida em
e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Descontinuidade removível em -2 , descontinuidade infinita em 2.
Descontinuidade removível em -2 , descontinuidade infinita em 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que está definida em todos os números reais (
) e é contínua, mas tem duas descontinuidades específicas: uma removível em
e uma infinita em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas descontinuidades e como representá-las no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre descontinuidades. Uma descontinuidade removível é um ponto onde a função não está definida ou não tem o valor correto, mas fazendo uma pequena “ajuste” no ponto, podemos tornar a função contínua. Já a descontinuidade infinita ocorre quando a função “explode”, ou seja, se aproxima de infinito positivo ou negativo naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar desenhando uma função contínua, como uma reta ou uma parábola. Para simplificar, vou escolher uma função racional, pois elas frequentemente apresentam esse tipo de descontinuidade. Por exemplo, considere
. Simplificando, temos
quando
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as descontinuidades:
-
Em
: A função original tinha no numerador e denominador, o que cancela, deixando para . Porém, em , a função não está definida, mas podemos “remover” essa descontinuidade definindo . -
Em
: No denominador, temos , o que faz com que a função não esteja definida e, ao mesmo tempo, o valor tende ao infinito quando se aproxima de 2. Isso caracteriza uma descontinuidade infinita.
Passo 5
No gráfico, isso fica assim:
- A função
é uma hipérbole com uma assíntota vertical em . - Em
, há um ponto removível. Então, no gráfico, marcaríamos um ponto aberto em e depois colocamos um ponto fechado em para “preencher” a descontinuidade.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole com uma assíntota vertical em
, possui um ponto aberto em
e um ponto fechado em
, representando a descontinuidade removível em
e a descontinuidade infinita em
.