Determine soluções:
para a equação diferencial x^prime(t)=-x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial x^prime(t) = -x(t) . Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que basicamente envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar x de um lado e t do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis x e t . A equação dada é:
dxdt = -x(t)
Vamos dividir ambos os lados por x(t) e multiplicar por dt para conseguir:
1x(t) dx = -dt
Isso deixa x de um lado e t do outro, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral 1x dx = ln|x| + C1
E a integral do lado direito é:
integral -1 , dt = -t + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Vamos combinar as constantes de integração em uma única constante C . Assim, temos:
ln|x| = -t + C
Para simplificar, podemos escrever isso como:
ln|x| = -t + C
Onde C engloba C1 e C2 .

Passo 5

Para resolver para x , vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados da equação:
e^ln|x| = e^-t + C
Sabendo que e^ln|x| = |x| e e^C é apenas uma constante positiva, podemos escrever:
x = Ce^-t
Onde C = pm e^C representa qualquer constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial x^prime(t) = -x(t) é:
x(t) = Ce^-t
Onde C é uma constante real que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.

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