Determine soluções:
para a equação diferencial
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que basicamente envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar
de um lado e
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para conseguir:
Isso deixa
de um lado e
do outro, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos combinar as constantes de integração em uma única constante
. Assim, temos:
Para simplificar, podemos escrever isso como:
Onde
engloba
e
.
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados da equação:
Sabendo que
e
é apenas uma constante positiva, podemos escrever:
Onde
representa qualquer constante real.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante real que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.