Esboce o gráfico de uma função f que seja definida em R e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Descontinuidades em 0 e 3 , mas com continuidade à direita em 0 e com continuidade à esquerda em 3 .

Passo 1

O enunciado nos pede para construir (e esboçar) uma função fcolonRtoR que seja contínua em todo R, exceto nos pontos x=0 e x=3, de modo que em x=0 ocorra descontinuidade mas com continuidade à direita, e em x=3 ocorra descontinuidade mas com continuidade à esquerda.

Passo 2

Relembrando as definições:
f é contínua à direita em x0 se limxto x0^+f(x)=f(x0).
f é contínua à esquerda em x0 se limxto x0^-f(x)=f(x0).
Queremos exatamente que em 0 valha a primeira condição mas não a da esquerda, e em 3 valha a segunda condição mas não a da direita.

Passo 3

Uma construção simples é usar três constantes diferentes em cada região, fazendo saltos (jumps) em
Nesse caso temos automaticamente .

Passo 4

Verificando as propriedades:
– Em x=0:
limxto0^-f(x)=0neq f(0), mas
limxto0^+f(x)=1=f(0).
Logo, descontinuidade em 0 com continuidade à direita.
– Em x=3:
limxto3^-f(x)=1=f(3), mas
limxto3^+f(x)=2neq f(3).
Logo, descontinuidade em 3 com continuidade à esquerda.
Fora desses pontos, cada região é constante, portanto contínua.

Resposta

O esboço da função é três segmentos horizontais:
  • Para x<0, traçar o valor y=0 (com ponto aberto em (0,0)).
  • Para 0<= x<=3, traçar o valor y=1 (com ponto fechado em (0,1) e em (3,1)).
  • Para x>3, traçar o valor y=2 (com ponto aberto em (3,2)).

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