Considere a equação diferencial
y^prime prime+9 y=0
Qual é a forma geral da solução?
(a) y(x)=C1 cos (3 x)+C2 sin (3 x)
(b) y(x)=C1 e^3 x+C2 e^-3 x
(c) y(x)=C1 x cos (3 x)+C2 x sin (3 x)
(d) y(x)=C1 cos (raiz9 x)+C2 cos (raiz9 x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' + 9y = 0 . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma y'' + by' + cy = 0 , a equação característica é dada por r^2 + br + c = 0 . No nosso caso, como não há termo em y' , temos b = 0 e c = 9 . Então, a equação característica fica:
r^2 + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar as raízes r . Subtraindo 9 de ambos os lados, temos:
r^2 = -9
Para encontrar r , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
r = pm raiz-9
Sabemos que raiz-1 = i , então:
r = pm 3i

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma r = alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x)
No nosso caso, alpha = 0 e beta = 3 , então a solução geral fica:
y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)

Resposta

A forma geral da solução é a opção (a) y(x) = C1 cos (3 x) + C2 sin (3 x) .

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