Considere a seguinte equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0
Qual é a solução geral da EDO?
(a) y(x)=C1 e^x+C2 e^2 x
(b) y(x)=C1 e^x+C2 x e^x
(c) y(x)=C1 cos (x)+C2 sin (x)
(d) y(x)=C1 e^-x+C2 e^-2 x

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime - 3 y^prime + 2 y = 0
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aprender a resolver usando a equação característica. Precisamos encontrar as raízes dessa equação característica para chegar na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica associada à EDO dada. Para uma equação do tipo y^prime prime + a y^prime + b y = 0 , a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, comparando com y^prime prime - 3 y^prime + 2 y = 0 , temos a = -3 e b = 2 . Então, a equação característica fica:
r^2 - 3 r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r . A equação é:
r^2 - 3 r + 2 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(r - 1)(r - 2) = 0
Portanto, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = 2

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Para duas raízes reais e distintas r1 e r2 , a solução geral é:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^2 x
Portanto, a alternativa correta é a letra (a).

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