Considere a seguinte equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Qual é a solução geral da EDO?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aprender a resolver usando a equação característica. Precisamos encontrar as raízes dessa equação característica para chegar na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação característica associada à EDO dada. Para uma equação do tipo
, a equação característica é:
No nosso caso, comparando com
, temos
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A equação é:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Para duas raízes reais e distintas
e
, a solução geral é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Portanto, a alternativa correta é a letra (a).