Dada a equação diferencial
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0
qual é a forma geral de sua solução?
(a) y(x)=(C1+C2 x) e^3 x
(b) y(x)=C1 e^3 x+C2 e^-3 x
(c) y(x)=C1 cos (3 x)+C2 sin (3 x)
(d) y(x)=C1 e^-3 x+C2 x e^-3 x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 6y' + 9y = 0
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral que descreve todas as possíveis soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a equação característica. Isso é feito substituindo y por e^rx , onde r é um número que precisamos descobrir. Derivando, temos:
  • y = e^rx
  • y' = r e^rx
  • y'' = r^2 e^rx
Substituindo essas expressões na equação diferencial:
r^2 e^rx - 6r e^rx + 9 e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx (que nunca é zero):
e^rx (r^2 - 6r + 9) = 0
Então, a equação característica é:
r^2 - 6r + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 - 6r + 9 = 0 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 92 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 362 = 6 pm 02
Portanto, temos uma raíz dupla:
r = 3

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, uma raíz dupla r = 3 , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) e^3x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A forma geral da solução é:
(a) y(x) = (C1 + C2 x) e^3 x

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