Dada a equação diferencial
qual é a forma geral de sua solução?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral que descreve todas as possíveis soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a equação característica. Isso é feito substituindo
por
, onde
é um número que precisamos descobrir. Derivando, temos:
Substituindo essas expressões na equação diferencial:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos uma raíz dupla:
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, uma raíz dupla
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A forma geral da solução é:
(a)