Mostre que a série sumn=1^infty cos (n)n^2 converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty cos(n)n^2
converge absolutamente.
O conteúdo principal aqui é o conceito de convergência absoluta de séries de termos reais e o uso do teste de comparação com uma série p-série.

Passo 2

Lembramos que uma série sum an converge absolutamente se a série de termos não negativos
sum |an|
converge. No nosso caso, an = cos(n)n^2, logo consideramos
sumn=1^infty gl|cos(n)n^2gr|

Passo 3

Como cos(n) está sempre entre -1 e 1, temos
|cos(n)| <= 1 Longrightarrow l|tfraccos(n)n^2r| <= 1n^2

Passo 4

A série
sumn=1^infty 1n^2
é uma p-série com p=2>1, e sabe-se que ela converge (ao valor pi^2/6, embora só precisemos do fato de convergência).
Pelo teste de comparação, como
l|tfraccos(n)n^2r|<= tfrac1n^2 e sum 1/n^2 converge, concluímos que
sumn=1^infty l|tfraccos(n)n^2r|
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos(n)n^2 converge absolutamente pelo teste de comparação com a p-série sum 1/n^2.

Exercícios relacionados