Resolva o PVI:
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Observação útil e motivação para a transformação: a equação tem termos com
e com
. Uma estratégia frequente nesses casos é tentar obter uma equação para
, porque a derivada de
envolve
. Vou multiplicar a equação dada por
para aparecer
e identificar essa estrutura.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora uso a identidade para derivada:
Assim o termo
pode ser escrito como
. Substituindo isso na equação multiplicada por
obtenho
Passo 3
Fazer a substituição
. Então
. A equação do passo anterior fica
Dividindo por
(lembrando que
) temos a forma linear padrão:
Agora vou resolver esta equação linear de primeira ordem em
. Recordando a técnica do fator integrante: para uma equação na forma
o fator integrante é
. Aqui
, então
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral usamos a substituição
, então
e
. Assim
Portanto
Multiplicando por
obtemos a expressão geral para
:
Passo 5
Lembrando que
, temos a solução geral implícita
Agora aplicamos a condição inicial
. Para
temos
e
. Substituindo na expressão:
Logo
Passo 6
Substituindo
na solução geral obtemos
Como o problema especifica
e a condição inicial dá
, devemos escolher o ramo positivo da raiz quadrada (a solução contínua que satisfaz a condição inicial). Portanto