Resolva o PVI:
2 x \frac{d y}{d x}-2 y=4 \frac{x^{4}}{y} \cos \left(x^{2}\right)
onde y(\sqrt{\pi})=1, x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
2x\frac{dy}{dx}-2y=4\frac{x^{4}}{y}\cos\left(x^{2}\right),
com a condição inicial \;y(\sqrt{\pi})=1 e x>0.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação: }2x\frac{dy}{dx}-2y=4\frac{x^{4}}{y}\cos\left(x^{2}\right),\\\ &\text{Condição inicial: }y(\sqrt{\pi})=1,\\\ &\text{Domínio considerado: }x>0. \end{aligned}çãçãí

Passo 2

Observação útil e motivação para a transformação: a equação tem termos com y e com \dfrac{1}{y}. Uma estratégia frequente nesses casos é tentar obter uma equação para y^{2}, porque a derivada de y^{2} envolve y\,dy/dx. Vou multiplicar a equação dada por y para aparecer y\,dy/dx e identificar essa estrutura.
Multiplicando ambos os lados por y obtemos
2x\,y\frac{dy}{dx}-2y^{2}=4x^{4}\cos\left(x^{2}\right).
Agora uso a identidade para derivada:
\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\frac{dy}{dx}.
Assim o termo 2x\,y\frac{dy}{dx} pode ser escrito como x\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right). Substituindo isso na equação multiplicada por y obtenho
x\frac{d}{dx}\left(y^{2}\right)-2y^{2}=4x^{4}\cos\left(x^{2}\right).

Passo 3

Fazer a substituição u(x)=y(x)^{2}. Então u'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big). A equação do passo anterior fica
x u'-2u=4x^{4}\cos\left(x^{2}\right).
Dividindo por x (lembrando que x>0) temos a forma linear padrão:
u'-\frac{2}{x}u=4x^{3}\cos\left(x^{2}\right).
Agora vou resolver esta equação linear de primeira ordem em u. Recordando a técnica do fator integrante: para uma equação na forma
u'+P(x)u=Q(x),
o fator integrante é \mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right). Aqui P(x)=-\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(-2\ln x\right)=x^{-2}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-2} obtemos
x^{-2}u'-\frac{2}{x}x^{-2}u = 4x^{3}x^{-2}\cos\left(x^{2}\right).
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{u}{x^{2}}, logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{x^{2}}\right)=4x\cos\left(x^{2}\right).

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
\frac{u}{x^{2}}=\int 4x\cos\left(x^{2}\right)\,dx + C.
Para calcular a integral usamos a substituição t=x^{2}, então dt=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{dt}{2}. Assim
\int 4x\cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int 4\cos t\cdot \frac{dt}{2}=2\int \cos t\,dt = 2\sin t = 2\sin\left(x^{2}\right).
Portanto
\frac{u}{x^{2}}=2\sin\left(x^{2}\right)+C.
Multiplicando por x^{2} obtemos a expressão geral para u:
u(x)=x^{2}\big(2\sin\left(x^{2}\right)+C\big).

Passo 5

Lembrando que u=y^{2}, temos a solução geral implícita
y^{2}=x^{2}\big(2\sin\left(x^{2}\right)+C\big).
Agora aplicamos a condição inicial \;y(\sqrt{\pi})=1. Para x=\sqrt{\pi} temos x^{2}=\pi e \sin(\pi)=0. Substituindo na expressão:
1^{2}=\pi\big(2\sin(\pi)+C\big)=\pi\cdot C.
Logo
C=\frac{1}{\pi}.

Passo 6

Substituindo C=\dfrac{1}{\pi} na solução geral obtemos
y^{2}=x^{2}\left(2\sin\left(x^{2}\right)+\frac{1}{\pi}\right).
Como o problema especifica x>0 e a condição inicial dá y(\sqrt{\pi})=1>0, devemos escolher o ramo positivo da raiz quadrada (a solução contínua que satisfaz a condição inicial). Portanto
y(x)=x\sqrt{\,2\sin\left(x^{2}\right)+\frac{1}{\pi}\,}\qquad (x>0).

Resposta

y(x)=x\sqrt{\,2\sin\left(x^{2}\right)+\dfrac{1}{\pi}\,}

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