(a) Considere a equação diferencial
Determine uma região do plano
tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto (
) da regiāo.
(b) Formalmente, mostre que
satisfaz a equaçăo diferencial e a condição inicial
.
(c) Explique por que
năo é uma solução para o problema de valor inicial
no intervalo (
).
(d) Explique por que
é uma soluçāo para o problema de valor inicial da parte (c) no intervalo
.
(b) Formalmente, mostre que
(c) Explique por que
(d) Explique por que
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO
querendo (a) especificar uma região onde exista e seja única a solução pelo teorema de Picard–Lindelöf, (b) verificar que
realmente satisfaz a EDO e
, e (c)/(d) discutir em que intervalos essa solução está ou não definida. Para isso precisamos usar o teorema de existência e unicidade (continuidade de
e
) e a propriedade de
ter assíntotas em
.
Passo 2
Pela versão local do teorema de Picard–Lindelöf, se
e
são contínuas em um retângulo
então existe uma e apenas uma solução passando por
contida em
. Como
e
são polinômios, tal região
pode ser escolhida em qualquer ponto de
.
Passo 3
Para verificar que
satisfaz a EDO, calculamos
e lembramos que
Substituindo
na EDO dá
o que é verdadeiro. Além disso,
, logo satisfaz
.
Passo 4
No intervalo
existe o ponto
, onde
. Logo
não está definida em todo
e, portanto, não é solução do problema de valor inicial nesse intervalo.
Passo 5
No intervalo
temos
, de modo que
é bem definida e
. Assim
é solução única do problema de valor inicial em
.
Resposta
(a) Pode-se escolher qualquer retângulo
pois
e
são contínuas em
.
(b) De fato
(b) De fato
(c) Em
há
, onde
não existe.
(d) Em a função
é
e satisfaz o IVP.
(d) Em