(a) Considere a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=1+y^{2} .
Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x_{0,} y_{0} ) da regiāo.
(b) Formalmente, mostre que y=\operatorname{tg} x satisfaz a equaçăo diferencial e a condição inicial y(0)=0.
(c) Explique por que y=\operatorname{tg} x năo é uma solução para o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=1+y^{2}, \quad y(0)=0,
no intervalo ( -2,2 ).
(d) Explique por que y=\operatorname{tg} x é uma soluçāo para o problema de valor inicial da parte (c) no intervalo (-1,1).

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO
\frac{dy}{dx}=1+y^{2},
querendo (a) especificar uma região onde exista e seja única a solução pelo teorema de Picard–Lindelöf, (b) verificar que y=\tan x realmente satisfaz a EDO e y(0)=0, e (c)/(d) discutir em que intervalos essa solução está ou não definida. Para isso precisamos usar o teorema de existência e unicidade (continuidade de f e \partial f/\partial y) e a propriedade de \tan x ter assíntotas em x=(2k+1)\pi/2.

Passo 2

Pela versão local do teorema de Picard–Lindelöf, se f(x,y)=1+y^2 e \partial f/\partial y=2y são contínuas em um retângulo
D=\bigl\{(x,y)\mid |x-x_0|\le a,\;|y-y_0|\le b\bigr\},
então existe uma e apenas uma solução passando por (x_0,y_0) contida em D. Como f e \partial f/\partial y são polinômios, tal região D pode ser escolhida em qualquer ponto de \R^2.

Passo 3

Para verificar que y=\tan x satisfaz a EDO, calculamos
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x
e lembramos que
\operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x.
Substituindo y=\tan x na EDO dá
\frac{dy}{dx}=1+y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x,
o que é verdadeiro. Além disso, \tan0=0, logo satisfaz y(0)=0.

Passo 4

No intervalo (-2,2) existe o ponto x=\pi/2\approx1,57, onde \tan x\to\pm\infty. Logo y=\tan x não está definida em todo (-2,2) e, portanto, não é solução do problema de valor inicial nesse intervalo.

Passo 5

No intervalo (-1,1) temos |x|<1<\pi/2, de modo que \tan x é bem definida e C^1. Assim y=\tan x é solução única do problema de valor inicial em (-1,1).

Resposta

(a) Pode-se escolher qualquer retângulo
D=\{(x,y)\mid |x-x_0|\le a,\;|y-y_0|\le b\},
pois f(x,y)=1+y^2 e \partial f/\partial y=2y são contínuas em \R^2.
(b) De fato
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x \quad\text{e}\quad\tan0=0.
(c) Em (-2,2) x=\pi/2, onde \tan x não existe.
(d) Em (-1,1)\subset(-\pi/2,\pi/2) a função \tan x é C^1 e satisfaz o IVP.

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