Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
2+5+8+\cdots+(3 n-1)=\frac{n(3 n+1)}{2}

Passo 1

Resumimos o enunciado: provar por indução em n que
2 + 5 + 8 + \cdots + (3n-1) = \frac{n(3n+1)}{2}.
Aqui vamos usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Caso base: para n=1 a soma tem apenas o primeiro termo, isto é,
2 = \frac{1\cdot(3\cdot1+1)}{2} = \frac{4}{2} = 2,
logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 valha
2 + 5 + 8 + \cdots + (3k-1) = \frac{k(3k+1)}{2}.

Passo 4

Passo indutivo: somamos o próximo termo 3(k+1)-1=3k+2 aos dois lados da hipótese:
2 + 5 + \cdots + (3k-1) + (3k+2) = \frac{k(3k+1)}{2} + (3k+2).
Reunindo em denominador comum:
\frac{k(3k+1) + 2(3k+2)}{2} = \frac{3k^2 + k + 6k + 4}{2} = \frac{3k^2 + 7k + 4}{2} = \frac{(k+1)(3k+4)}{2} = \frac{(k+1)\bigl(3(k+1)+1\bigr)}{2}.
Assim mostramos que a fórmula vale para n=k+1.

Resposta

2 + 5 + 8 + \cdots + (3n-1) = \frac{n(3n+1)}{2}
é válida para todo n\in\mathbb{N}.

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