Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y), com z=x+i y.
Determine todos os pontos em que a função
f(z)=\bar{z}^{2}é diferenciável.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=\overline{z}^{2},
onde z=x+i y. A tarefa é: determinar todos os pontos z em que f é diferenciável (no sentido complexo). Informações dadas que vamos usar: a expressão z=x+i y e a definição de conjugado \overline{z}=x-i y. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Escrevendo f em coordenadas reais x,y para separar parte real e imaginária:
\overline{z}=x-i y \quad\Rightarrow\quad f(z)=(x-i y)^{2}.
Expandindo:
f(z)=x^{2}-y^{2}-2i x y.
Portanto a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y) (tal que f=u+iv) são
u(x,y)=x^{2}-y^{2},\qquad v(x,y)=-2xy.

Passo 3

Lembrete sobre diferenciabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann (CR):
  • Uma função f=u+iv é diferenciável em um ponto z_0=(x_0,y_0) se o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
existe e é independente da direção pela qual h tende a 0.
  • Se u e v têm derivadas parciais em x e y que são contínuas numa vizinhança de z_0, então f é diferenciável em z_0 se e somente se as equações de Cauchy–Riemann forem satisfeitas em z_0:
u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0),\qquad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0).
Aqui u_x é a derivada parcial de u em relação a x, etc. No nosso caso as derivadas parciais serão polinomiais e portanto contínuas em todo lugar, então CR são condição equivalente à diferenciabilidade.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
u_x=2x,\qquad u_y=-2y,
v_x=-2y,\qquad v_y=-2x.
Aplicando as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y \\ \Rightarrow\\\ 2x=-2x \\ \Rightarrow\\\ 4x=0 \\ \Rightarrow\\ x=0,
u_y=-v_x \\ \Rightarrow\\\ -2y=-(-2y) \\ \Rightarrow\\\ -2y=2y \\ \Rightarrow\\\ 4y=0 \\ \Rightarrow\\ y=0.
As duas equações são satisfeitas simultaneamente apenas quando x=0 e y=0, isto é, apenas em z=0.

Passo 5

Como as derivadas parciais são contínuas, a condição CR que encontramos é suficiente: f é diferenciável apenas em z=0. Podemos ainda calcular o valor da derivada em 0 pela fórmula
f'(z)=u_x+i v_x,
avaliando em (0,0):
f'(0)=u_x(0,0)+i v_x(0,0)=0+i\cdot0=0.

Passo 6

Para ter mais intuição (e uma verificação direta), vejamos a definição do limite em 0. Para h\to0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\overline{h}^{2}}{h}.
O módulo desse quociente é
\left|\frac{\overline{h}^{2}}{h}\right|=\frac{|h|^{2}}{|h|}=|h|\to0,
logo o quociente tende a 0 independente da direção — o que confirma f'(0)=0. Para um ponto z_0\neq0 a verificação direta mostra que o quociente de diferença depende da direção: escrevendo
\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=2\overline{z_0}\frac{\overline{h}}{h}+\frac{\overline{h}^{2}}{h},
o segundo termo tende a 0 quando h\to0, mas o primeiro termo tende a 2\overline{z_0}e^{-2i\arg(h)}, que depende de \arg(h) e, para \overline{z_0}\neq0, dá limites diferentes ao aproximar por direções distintas. Assim não existe o limite (não é diferenciável) quando z_0\neq0.

Resposta

A função f(z)=\overline{z}^{2} é diferenciável somente em z=0.

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