Questão 8. Determine o domínio da função f(x) igual a
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n},
ou seja, a função f(x) é definida pela soma dessa série. A pergunta é: para quais valores reais de x essa série converge (ou seja, qual é o domínio de f)?
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é uma série de potências em x com termos a_n(x)=n x^{n}.
  • O índice começa em n=0 (observe que o termo correspondente é 0\cdot x^0=0).
    O objetivo agora é determinar os valores de x reais para os quais a soma infinita converge.

Passo 2

Explicação da ferramenta principal: teste da razão (d’Alembert).
O teste da razão diz: para uma sequência de termos a_n (não nulos a partir de certo n), se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então
  • se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    Vamos aplicar esse teste aos termos a_n=n x^{n}. Calculemos a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{n x^{n}}\right| = \frac{n+1}{n}\,|x| = \left(1+\frac{1}{n}\right)|x|.
Agora tomamos limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)|x| = |x|.

Passo 3

Interpretação do resultado do teste da razão: como L=|x|,
  • se |x|<1 então L<1 e a série converge absolutamente;
  • se |x|>1 então L>1 e a série diverge.
    O caso |x|=1 precisa de análise separada porque o teste da razão fica inconclusivo.

Passo 4

Análise dos pontos na fronteira |x|=1.
  1. Para x=1: os termos são n\cdot 1^{n}=n. A condição necessária para que uma série \sum a_n converja é \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Aqui \lim_{n\to\infty} n = +\infty \neq 0, logo a série diverge.
  2. Para x=-1: os termos são n(-1)^n. Novamente |n(-1)^n|=n e \lim_{n\to\infty} n\neq 0, então os termos não tendem a zero; portanto a série não pode convergir (nem mesmo condicionalmente). Logo diverge para x=-1.
Portanto não há convergência nos pontos com |x|=1.

Passo 5

Complemento didático — soma explícita quando converge (útil para prova/uso).
Quando |x|<1 podemos obter a soma fechada relacionando com a série geométrica. Lembrando a série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Diferenciando termo a termo (válido dentro do raio de convergência), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^{2}}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Multiplicando por x chegamos à série que queremos:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Como o termo n=0 é zero, isso dá a soma de \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} também. Essa fórmula é útil para verificar valores e para usar em provas — e mostra que a série não só converge, como converge para uma função racional bem conhecida quando |x|<1.

Passo 6

Resumo do procedimento (como fazer rápido e seguro na prova):
  • Identifique os termos a_n=n x^{n}. Use o teste da razão: calcule \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| e o limite para n\to\infty.
  • Se o limite for |x|<1, conclua convergência absoluta; se for |x|>1, conclua divergência.
  • Verifique explicitamente os pontos de fronteira |x|=1 pela condição \lim a_n=0.
  • Se for pedido, derive a soma fechada diferenciando a série geométrica (válido dentro do raio de convergência).
    Força aí — este é o tipo de questão que, com esse passo a passo, dá para resolver bem rápido na prova.

Resposta

(-1,1)

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