Questão 8. Determine o domínio da função f(x) igual a \sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n},
ou seja, a função f(x) é definida pela soma dessa série. A pergunta é: para quais valores reais de x essa série converge (ou seja, qual é o domínio de f)?
Informações relevantes fornecidas:
A série é uma série de potências em x com termos a_n(x)=n x^{n}.
O índice começa em n=0 (observe que o termo correspondente é 0\cdot x^0=0).
O objetivo agora é determinar os valores de x reais para os quais a soma infinita converge.
Passo 2
Explicação da ferramenta principal: teste da razão (d’Alembert).
O teste da razão diz: para uma sequência de termos a_n (não nulos a partir de certo n), se existir o limite
Interpretação do resultado do teste da razão: como L=|x|,
se |x|<1 então L<1 e a série converge absolutamente;
se |x|>1 então L>1 e a série diverge.
O caso |x|=1 precisa de análise separada porque o teste da razão fica inconclusivo.
Passo 4
Análise dos pontos na fronteira |x|=1.
Para x=1: os termos são n\cdot 1^{n}=n. A condição necessária para que uma série \sum a_n converja é \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Aqui \lim_{n\to\infty} n = +\infty \neq 0, logo a série diverge.
Para x=-1: os termos são n(-1)^n. Novamente |n(-1)^n|=n e \lim_{n\to\infty} n\neq 0, então os termos não tendem a zero; portanto a série não pode convergir (nem mesmo condicionalmente). Logo diverge para x=-1.
Portanto não há convergência nos pontos com |x|=1.
Passo 5
Complemento didático — soma explícita quando converge (útil para prova/uso).
Quando |x|<1 podemos obter a soma fechada relacionando com a série geométrica. Lembrando a série geométrica:
Diferenciando termo a termo (válido dentro do raio de convergência), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^{2}}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Multiplicando por x chegamos à série que queremos:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Como o termo n=0 é zero, isso dá a soma de \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} também. Essa fórmula é útil para verificar valores e para usar em provas — e mostra que a série não só converge, como converge para uma função racional bem conhecida quando |x|<1.
Passo 6
Resumo do procedimento (como fazer rápido e seguro na prova):
Identifique os termos a_n=n x^{n}. Use o teste da razão: calcule \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| e o limite para n\to\infty.
Se o limite for |x|<1, conclua convergência absoluta; se for |x|>1, conclua divergência.
Verifique explicitamente os pontos de fronteira |x|=1 pela condição \lim a_n=0.
Se for pedido, derive a soma fechada diferenciando a série geométrica (válido dentro do raio de convergência).
Força aí — este é o tipo de questão que, com esse passo a passo, dá para resolver bem rápido na prova.