Considere a equação diferencial linear de primeira ordem, na forma
.
(a) Obtenha o fator integrante que transforma esta equação em uma edo exata. (Spoiler: deve ser obtido
.
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido,
, e obtenha o lado esquerdo da igualdade, como a derivada do produto de
, e da variável dependente
.
(a) Obtenha o fator integrante que transforma esta equação em uma edo exata. (Spoiler: deve ser obtido
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede (a) o fator integrante que torne esta equação exata e (b) mostrar que, ao multiplicar pela função obtida, o lado esquerdo se escreve como derivada do produto
. Para isso precisamos usar a condição de exatidão e integrar uma equação simples para
.
Passo 2
Suponha que exista uma função
tal que, ao multiplicar a equação original por
, o lado esquerdo seja a derivada de
. Observe que
Mas, multiplicando a equação dada por
, temos
Para que isso coincida com
, é preciso
Integrando ambos os lados em
, obtemos
Passo 3
Agora, multiplicando a equação original por
e usando o resultado acima, escrevemos
Mas pelo passo anterior sabemos que
logo
Portanto a equação transformada fica
Resposta
(a)
(b) Multiplicando a equação original por obtemos
(b) Multiplicando a equação original por