Considere a equação diferencial linear de primeira ordem, na forma d yd x+P(x) y=f(x).
(a) Obtenha o fator integrante que transforma esta equação em uma edo exata. (Spoiler: deve ser obtido mu(x)=e^integral P(x) d x.
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido, mu(x), e obtenha o lado esquerdo da igualdade, como a derivada do produto de mu(x), e da variável dependente y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + P(x),y = f(x),
e pede (a) o fator integrante que torne esta equação exata e (b) mostrar que, ao multiplicar pela função obtida, o lado esquerdo se escreve como derivada do produto mu(x),y. Para isso precisamos usar a condição de exatidão e integrar uma equação simples para mu(x).

Passo 2

Suponha que exista uma função mu(x) tal que, ao multiplicar a equação original por mu, o lado esquerdo seja a derivada de mu(x),y. Observe que
ddxl[mu(x),yr] = mu'(x),y + mu(x),dydx
Mas, multiplicando a equação dada por mu(x), temos
mu(x),dydx + mu(x),P(x),y = mu(x),f(x)
Para que isso coincida com mu'(x),y + mu(x),dy/dx, é preciso
mu'(x),y = mu(x),P(x),y Longrightarrow mu'(x)mu(x) = P(x)
Integrando ambos os lados em x, obtemos
lnl(mu(x)r) = integral P(x),dx Longrightarrow mu(x) = e^integral P(x),dx

Passo 3

Agora, multiplicando a equação original por mu(x) e usando o resultado acima, escrevemos
mu(x),dydx + mu(x),P(x),y = mu(x),f(x)
Mas pelo passo anterior sabemos que
mu'(x) = P(x),mu(x),
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mu(x),dydx + mu(x),P(x),y = mu(x),dydx + mu'(x),y = ddxl[mu(x),yr]
Portanto a equação transformada fica
ddxl[mu(x),yr] = mu(x),f(x)

Resposta

(a) mu(x) = e^integral P(x),dx
(b) Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
ddxl[mu(x),yr] = mu(x),f(x)

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