Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série alternada e verificar se ela converge absolutamente ou diverge, usando o teste da razão ou o da raiz. Vamos focar na convergência absoluta, ou seja, na série de termos positivos .
Passo 2
Aplicar o teste da razão à série absoluta: considere an = arctan(n)n^2 e calcule
L = limntoinfty an+1an = limntoinfty arctan(n+1)(n+1)^2 cdot n^2arctan(n)
Observe que arctan(n+1)/arctan(n)to1 e n^2/(n+1)^2to1, portanto L=1, o que deixa o teste da razão inconclusivo.
Passo 3
Como o teste da razão não resolveu, use comparação assintótica. Para n grande temos
arctan(n) < pi2,
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0 <= arctan(n)n^2 < pi/2n^2
A série sum (pi/2)/n^2 é um p-série com p=2>1 e, portanto, converge.
Passo 4
Pelo teste da comparação, como sumn=1^infty pi/2n^2 converge, a série sumn=1^infty arctan(n)n^2 também converge. Isso mostra convergência absoluta da série original.
Passo 5
Concluímos que a série alternada dada converge absolutamente (e, portanto, converge).