Resolva as seguintes equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado dá a equação de Clairaut
Aqui definimos
. A equação fica na forma
com
. Para resolver, vamos encontrar (i) a família geral de retas e (ii) a solução singular, que é o envelope dessa família.
Passo 2
Em equações de Clairaut, a solução geral surge ao tomar
constante. Substituindo na equação original, temos a família de retas
onde
é o parâmetro real. A derivada associada é
, coerente com a forma de Clairaut.
Passo 3
A solução singular (envelope) obtém-se eliminando
entre
Da segunda igualdade vem
Passo 4
Substituindo
em
, escrevemos
Como
, segue
Em forma implícita, a singular é
Resposta
Solução geral:
, com
.
Solução singular (envelope):
ou seja