Resolva as seguintes equações de Clairaut:
y=x d yd x-(d yd x)^3

Passo 1

O enunciado dá a equação de Clairaut
y = xdydx - gl(dydxgr)^3
Aqui definimos p = dydx. A equação fica na forma
y = x,p + f(p),
com f(p) = -p^3. Para resolver, vamos encontrar (i) a família geral de retas e (ii) a solução singular, que é o envelope dessa família.

Passo 2

Em equações de Clairaut, a solução geral surge ao tomar p=C constante. Substituindo na equação original, temos a família de retas
y = Cx - C^3,
onde C é o parâmetro real. A derivada associada é p = C, coerente com a forma de Clairaut.

Passo 3

A solução singular (envelope) obtém-se eliminando C entre
y = Cx - C^3 e partialpartial Cl(Cx - C^3r)=0
Da segunda igualdade vem
x - 3C^2=0 Longrightarrow C^2=x3

Passo 4

Substituindo C^2 = x/3 em y = Cx - C^3, escrevemos
y = Cx - Ccdot C^2 = Cl(x - tfracx3r) = tfrac23,C,x
Como C=pmraizx/3, segue
y = pm23,raizx3;x = pm23raiz3,x^3/2
Em forma implícita, a singular é
y^2=427,x^3

Resposta

Solução geral:
y = Cx - C^3, com CinR.
Solução singular (envelope):
y^2=427,x^3,
ou seja
y=pm23raiz3,x^3/2

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