Com relação às edo’s exatas da forma M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 :
(a) Qual o critério para verificar se uma edo é exata?
(b) O fato de uma edo ser exata implica no que?
(c) Qual o roteiro para resolver uma edo exata?
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de M, N e suas derivadas?

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e pede:
(a) critério para verificar exatidão;
(b) consequência de ser exata;
(c) roteiro de resolução;
(d) como transformar em exata caso não seja;
(e) quais fatores integrantes podem ser obtidos em termos de M, N e suas derivadas.
O conteúdo envolve derivadas parciais, função potencial e fator integrante.

Passo 2

Critério de exatidão: calculam-se as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x. A forma é exata em um domínio simplesmente conexo se e somente se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 3

Implicação de exatidão: existe função potencial phi(x,y) tal que
dphi = M,dx + N,dy
Logo a solução geral fica
phi(x,y) = C,
com C constante.

Passo 4

Roteiro para resolver uma equação exata:
  1. Integra-se M(x,y) em x, obtendo phi(x,y) = integral M(x,y),dx + h(y), onde h(y) é função arbitrária.
  2. Diferencia-se phi em relação a y e iguala a N(x,y): partial phipartial y = partialpartial y!l(integral M,dxr)+h'(y) = N(x,y)
  3. Isola-se h'(y), integra em y para achar h(y) e monta-se phi(x,y)=C.

Passo 5

Transformar em exata (caso não seja): busca-se fator integrante mu tal que
mu(x,y),M,dx + mu(x,y),N,dy = 0
seja exata. Os dois casos mais comuns são:
mu=mu(x), quando
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr)
depende apenas de x.
mu=mu(y), quando
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr)
depende apenas de y.
Depois de achar mu, multiplica-se a equação original e repete-se o Passo 2.

Passo 6

Fatores integrantes em termos de M, N e derivadas:
mu(x) = exp!l(integral 1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr),dxr), mu(y) = exp!l(integral 1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr),dyr)

Resposta

(a) Critério de exatidão: partial Mpartial y=partial Npartial x
(b) Implica existência de função potencial phi com solução phi(x,y)=C
(c) Roteiro: integrar M em x somando h(y), igualar partialphi/partial y a N, achar h(y) e montar phi(x,y)=C
(d) Se não exata, multiplica-se por fator integrante mu(x) ou mu(y) que torne a forma exata, usando os critérios de dependência apenas em x ou em y.
(e) Fatores integrantes usuais:
mu(x)=exp!l(integral tfrac1N(partial M/partial y-partial N/partial x),dxr),
mu(y)=exp!l(integral tfrac1M(partial N/partial x-partial M/partial y),dyr).

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