Com relação às edo’s exatas da forma
:
(a) Qual o critério para verificar se uma edo é exata?
(b) O fato de uma edo ser exata implica no que?
(c) Qual o roteiro para resolver uma edo exata?
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de
e suas derivadas?
(a) Qual o critério para verificar se uma edo é exata?
(b) O fato de uma edo ser exata implica no que?
(c) Qual o roteiro para resolver uma edo exata?
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais da forma
e pede:
(a) critério para verificar exatidão;
(b) consequência de ser exata;
(c) roteiro de resolução;
(d) como transformar em exata caso não seja;
(e) quais fatores integrantes podem ser obtidos em termos de ,
e suas derivadas.
O conteúdo envolve derivadas parciais, função potencial e fator integrante.
(a) critério para verificar exatidão;
(b) consequência de ser exata;
(c) roteiro de resolução;
(d) como transformar em exata caso não seja;
(e) quais fatores integrantes podem ser obtidos em termos de
O conteúdo envolve derivadas parciais, função potencial e fator integrante.
Passo 2
Critério de exatidão: calculam-se as derivadas parciais
e
. A forma é exata em um domínio simplesmente conexo se e somente se
Passo 3
Implicação de exatidão: existe função potencial
tal que
Logo a solução geral fica
com
constante.
Passo 4
Roteiro para resolver uma equação exata:
- Integra-se
em , obtendo onde é função arbitrária. - Diferencia-se
em relação a e iguala a : - Isola-se
, integra em para achar e monta-se .
Passo 5
Transformar em exata (caso não seja): busca-se fator integrante
tal que
seja exata. Os dois casos mais comuns são:
– , quando
–
depende apenas de
.
– , quando
–
depende apenas de
.
Depois de achar , multiplica-se a equação original e repete-se o Passo 2.
Depois de achar
Passo 6
Fatores integrantes em termos de
,
e derivadas:
Resposta
(a) Critério de exatidão:
(b) Implica existência de função potencial com solução
(c) Roteiro: integrar em
somando
, igualar
a
, achar
e montar
(d) Se não exata, multiplica-se por fator integrante ou
que torne a forma exata, usando os critérios de dependência apenas em
ou em
.
(e) Fatores integrantes usuais:
,
.
(b) Implica existência de função potencial
(c) Roteiro: integrar
(d) Se não exata, multiplica-se por fator integrante
(e) Fatores integrantes usuais: