Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
\ddot{x}+b \dot{x}+c x=f(t) .
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é x_{h}=\mathrm{Ag}_{1}(t)+\mathrm{Bg}_{2}(t), onde as funções g_{1}, g_{2} dependem das raízes do polinômio característico p(\lambda)=\lambda^{2}+b \lambda+c. A função dada pelo determinante
W(t)=\left|\begin{array}{c} g_{1}(t) g_{2}(t) \\\ g_{1}^{\prime}(t) g_{2}^{\prime}(t) \end{array}\right|
denomina-se wronskiano de g_{1}, g_{2}.
a) Mostre que para todo t \in \mathbb{R}, W(t) \neq 0;
b) Mostre que qualquer soluçao particular x_{p} da equaçao acima tem a forma
x_{p}=-g_{1}(t) \int \frac{g_{2}(t) f(t)}{W(t)} \mathrm{dt}+g_{2}(t) \int \frac{g_{1}(t) f(t)}{W(t)} \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
\ddot{x}+b \dot{x}+c x=f(t),
cuja solução geral da associada homogênea é
x_{h}(t)=A\,g_{1}(t)+B\,g_{2}(t),
onde g_{1},g_{2} são soluções linearly independentes. Definimos o Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix} g_{1}(t) & g_{2}(t)\\[6pt] g_{1}'(t) & g_{2}'(t) \end{vmatrix}.
Precisamos mostrar:
a) W(t)\neq 0 para todo t.
b) Que uma solução particular pode ser escrita por variação de parâmetros como
x_{p}(t)=-g_{1}(t)\int \frac{g_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt +g_{2}(t)\int \frac{g_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt.
]

Passo 2

Para (a) usamos a identidade de Abel. Calculamos
\dot W(t) =g_{1}(t)\,g_{2}''(t)-g_{2}(t)\,g_{1}''(t).
Como cada g_{i} satisfaz
\ddot g_{i}+b\dot g_{i}+c g_{i}=0,
temos \ddot g_{i}=-b\dot g_{i}-c g_{i}. Substituindo,
\dot W = g_{1}(-b\dot g_{2}-c g_{2}) - g_{2}(-b\dot g_{1}-c g_{1}) = -b\,(g_{1}\dot g_{2}-g_{2}\dot g_{1}) = -b\,W.

Passo 3

A equação \dot W + b\,W=0 é linear de 1ª ordem. Integrando,
W(t)=W(t_{0})\,e^{-\int_{t_{0}}^{t}b\,ds} = W(t_{0})\,e^{-b\,(t-t_{0})}.
Como g_{1},g_{2} são independentes, W(t_{0})\neq 0 e assim W(t)\neq 0 para todo t.

Passo 4

Para (b), fazemos o método de variação de parâmetros. Suponha uma solução particular
x_{p}(t)=u_{1}(t)\,g_{1}(t)+u_{2}(t)\,g_{2}(t),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.

Passo 5

Imponha a condição auxiliar
u_{1}'(t)\,g_{1}(t)+u_{2}'(t)\,g_{2}(t)=0,
de modo que
\dot x_{p}=u_{1}g_{1}'+u_{2}g_{2}'
e
\ddot x_{p}=u_{1}'g_{1}'+u_{2}'g_{2}'+u_{1}g_{1}''+u_{2}g_{2}''.

Passo 6

Substituindo em \ddot x+b\dot x+c x=f(t) e usando \ddot g_{i}+b\dot g_{i}+c g_{i}=0, resta
u_{1}'(t)\,g_{1}'(t)+u_{2}'(t)\,g_{2}'(t)=f(t).
Juntamente com a condição auxiliar, formamos o sistema
\begin{cases} u_{1}'\,g_{1}+u_{2}'\,g_{2}=0,\\\ u_{1}'\,g_{1}'+u_{2}'\,g_{2}'=f(t). \end{cases}
Pela regra de Cramer obtemos
u_{1}'(t)=-\frac{g_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}, \quad u_{2}'(t)=\frac{g_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}.

Passo 7

Integramos para achar
u_{1}(t)=-\int \frac{g_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt, \quad u_{2}(t)=\int \frac{g_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt.
Logo a solução particular é exatamente
x_{p}(t)=-g_{1}(t)\!\int \frac{g_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt +g_{2}(t)\!\int \frac{g_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt.

Resposta

a) \displaystyle W(t)=W(t_{0})\,e^{-b\,(t-t_{0})}\neq 0 para todo t.
b) \displaystyle x_{p}(t)=-g_{1}(t)\!\int \frac{g_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt +g_{2}(t)\!\int \frac{g_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt.

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