Encontre as soluções particulares x_{p} das equações: \ddot{x}+x=\tan (t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2};
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular x_{p}(t) da equação não homogênea
\ddot{x} + x = \tan(t),
para t\in\bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo necessário é resolver a parte homogênea \ddot{x}+x=0 e depois aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar x_{p}(t).
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
\ddot{x} + x = 0
temos as soluções fundamentais
x_{1}(t) = \cos t,\quad x_{2}(t) = \sin t,
e o wronskiano
W(x_{1},x_{2})(t) =\begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =1.
Passo 3
Pela variação de parâmetros, uma solução particular pode ser escrita como