Encontre as soluções particulares x_{p} das equações:
\ddot{x}+x=\tan (t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2};

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular x_{p}(t) da equação não homogênea
\ddot{x} + x = \tan(t),
para t\in\bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo necessário é resolver a parte homogênea \ddot{x}+x=0 e depois aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar x_{p}(t).

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
\ddot{x} + x = 0
temos as soluções fundamentais
x_{1}(t) = \cos t,\quad x_{2}(t) = \sin t,
e o wronskiano
W(x_{1},x_{2})(t) =\begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =1.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, uma solução particular pode ser escrita como
x_{p}(t) = -\,x_{1}(t)\int \frac{x_{2}(t)\,\tan t}{W}\,dt + x_{2}(t)\int \frac{x_{1}(t)\,\tan t}{W}\,dt.
Como W=1, basta calcular as duas integrais
\displaystyle \int \sin t\,\tan t\,dt e \displaystyle \int \cos t\,\tan t\,dt.

Passo 4

Note que
\sin t\,\tan t =\frac{\sin^{2}t}{\cos t} =\frac{1-\cos^{2}t}{\cos t} =\operatorname{sec} t - \cos t,
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\int \sin t\,\tan t\,dt =\int(\operatorname{sec} t-\cos t)\,dt =\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|-\sin t + C_{1}.
E também
\cos t\,\tan t =\sin t,
então
\int \cos t\,\tan t\,dt =\int \sin t\,dt =-\cos t + C_{2}.

Passo 5

Substituindo em
x_{p}(t) = -\cos t\bigl[\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|-\sin t\bigr] + \sin t\bigl[-\cos t\bigr],
e descartando as constantes de integração (pois qualquer constante se mistura com a solução homogênea), obtemos
x_{p}(t) = -\cos t\,\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| + \cos t\,\sin t - \sin t\,\cos t = -\cos t\,\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr).

Resposta

x_{p}(t) = -\cos t \,\ln\bigl(\operatorname{sec} t + \tan t\bigr).

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