Encontre as soluções particulares x_{p} das equações:
\ddot{x}+x=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}, 0<t<\pi;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular x_{p}(t) da equação diferencial linear inhomogênea
\ddot{x}+x=\frac{1}{\sin t},\quad 0<t<\pi.
O conteúdo envolve EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte f(t)=1/\sin t. Vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada
\ddot{x}+x=0.
As duas soluções lineares independentes são
y_{1}(t)=\sin t, \qquad y_{2}(t)=\cos t.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin t & \cos t\\\ \cos t & -\sin t \end{vmatrix} =-\sin^{2}t-\cos^{2}t=-1.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, uma solução particular é
x_{p}(t)=-y_{1}(t)\int \frac{y_{2}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt +y_{2}(t)\int \frac{y_{1}(t)\,f(t)}{W(t)}\,dt.
Aqui f(t)=1/\sin t e W=-1.

Passo 5

Calculamos os dois integrais:
\int \frac{y_{2}\,f}{W}\,dt =\int \frac{\cos t}{\sin t}\,\bigl(-1\bigr)\,dt =-\int \cot t\,dt =-\ln\bigl(\sin t\bigr),
\int \frac{y_{1}\,f}{W}\,dt =\int \frac{\sin t}{\sin t}\,\bigl(-1\bigr)\,dt =-\int 1\,dt =-\,t.
Substituindo em x_{p}(t), obtemos
x_{p}(t) =-\sin t\bigl(-\ln(\sin t)\bigr) +\cos t\bigl(-t\bigr) =\sin t\ln\bigl(\sin t\bigr)-t\cos t.

Resposta

x_{p}(t)=\sin t\ln\bigl(\sin t\bigr)-t\cos t.

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