resolva o problema de valor inîcial dado. Dê o maior intervalo (I) sobre o qual a solução está definida.
(y^{\prime}+(\operatorname{tg} x) y=\cos ^{2} x, y(0)=-1)
(y^{\prime}+(\operatorname{tg} x) y=\cos ^{2} x, y(0)=-1)
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
com condição inicial
.
O conteúdo envolvido é resolução de EDOs lineares usando fator integrante, e em seguida identificação do maior intervalo em que a solução existe (onde é contínua).
O conteúdo envolvido é resolução de EDOs lineares usando fator integrante, e em seguida identificação do maior intervalo em que a solução existe (onde
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Passo 3
Multiplicando a EDO por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do quociente
, então
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Da relação acima,
Usando
, temos
. Logo a solução particular é
Passo 5
A função
(e portanto o coeficiente da EDO) é contínua em cada intervalo aberto entre as singularidades
. O maior intervalo contendo
onde a solução está definida é