resolva o problema de valor inîcial dado. Dê o maior intervalo (I) sobre o qual a solução está definida.
(y^{\prime}+(\operatorname{tg} x) y=\cos ^{2} x, y(0)=-1)

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
y' + (\tan x)\,y = \cos^2 x,
com condição inicial y(0) = -1.
O conteúdo envolvido é resolução de EDOs lineares usando fator integrante, e em seguida identificação do maior intervalo em que a solução existe (onde \tan x é contínua).

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tan x \,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) = \frac{1}{\cos x}.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\frac{1}{\cos x}\,y' + \frac{\tan x}{\cos x}\,y = \frac{y'}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,y = \cos^2 x\;\frac1{\cos x} = \cos x.
O lado esquerdo é a derivada do quociente y/\cos x, então
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{\cos x}\Bigr) = \cos x.
Integrando ambos os lados:
\frac{y}{\cos x} = \int \cos x\,dx = \sin x + C.

Passo 4

Da relação acima,
y(x) = \cos x\,\bigl(\sin x + C\bigr).
Usando y(0)=-1, temos \cos0\,( \sin0 + C ) = C = -1. Logo a solução particular é
y(x) = \cos x\,(\sin x - 1).

Passo 5

A função \tan x (e portanto o coeficiente da EDO) é contínua em cada intervalo aberto entre as singularidades x = \frac{\pi}{2} + k\pi. O maior intervalo contendo 0 onde a solução está definida é
I = \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

y(x) = \cos x\,(\sin x - 1), \quad I = \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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