Exercício 6: (1,5 pontos) Determine a área da regiāo delimitada pelas curvas f(x)=\operatorname{sen}(x), g(x)=\cos (x) no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. (Note que a raiz da equação \operatorname{sen}(x)-\cos (x)=0 é x=\frac{\pi}{4} )

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre as curvas
f(x)=\operatorname{sen}(x)\quad\text{e}\quad g(x)=\cos(x)
no intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Conteúdo: cálculo de área entre curvas usando integrais definidas e subtração “curva superior menos curva inferior”. Precisamos também usar o ponto de interseção \tfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Encontramos a abscissa em que \operatorname{sen}(x)=\cos(x). Resolvendo
\operatorname{sen}(x)-\cos(x)=0
sabemos que a única solução em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] é
x=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Identificamos qual curva está acima em cada pedaço:
De 0 a \tfrac{\pi}{4}, em x=0 vale \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1, logo \cos(x) é a curva superior.
De \tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{2}, em x=\tfrac{\pi}{2} vale \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1 e \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, logo \operatorname{sen}(x) é a curva superior.

Passo 4

Calculamos a área de 0 a \tfrac{\pi}{4} como
A_1=\int_{0}^{\pi/4}\bigl[\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\bigr]\,dx.
Como
\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x), \quad \int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x),
temos
A_1 =\bigl[\operatorname{sen}(x)+\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi/4} =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-\bigl(0+1\bigr) =\sqrt2-1.

Passo 5

Calculamos a área de \tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{2} como
A_2=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\bigl[\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr]\,dx.
Usando os antiderivados,
\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x), \quad \int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x),
obtemos
A_2 =\bigl[-\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =\bigl[-0-1\bigr]-\bigl[-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr] =( -1 )-(-\sqrt2) =\sqrt2-1.

Passo 6

A área total é
A = A_1 + A_2 = (\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)=2(\sqrt2-1).

Resposta

A área da região é 2(\sqrt2-1).

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