Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
f(x)=x^2x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^2x^2-x-2,
indicando (i) domínio e assíntotas, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos, (iii) pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda e análise de assíntotas de funções racionais.

Passo 2

Determinamos o domínio e as assíntotas. A restrição vem de
x^2-x-2=0;Longrightarrow;x=2;ou;x=-1,
então o domínio é Rsetminus-1,2. Como grau do numerador e denominador coincidem, há assíntota horizontal
y=limxtopminftyf(x)=1
E há assíntotas verticais em x=-1 e x=2.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para monotonicidade:
f'(x) =2x(x^2-x-2)-x^2(2x-1)(x^2-x-2)^2 =-x(x+4)(x^2-x-2)^2
O denominador é sempre positivo em cada intervalo do domínio. Zeros de f' em x=0 e x=-4. Montamos o quadro de sinais de f'(x):
- decrescente em (- infty,-4),
crescente em (-4,-1),
crescente em (-1,0),
- decrescente em (0,2),
- decrescente em (2,infty).

Passo 4

Classificamos extremos relativos pelos sinais de f':
- Em x=-4, f' vai de negativo para positivo Rightarrow mínimo relativo.
f(-4)=(-4)^2(-4)^2-(-4)-2=1618=89
- Em x=0, f' vai de positivo para negativo Rightarrow máximo relativo.
f(0)=0

Passo 5

Calculamos a derivada segunda e achamos pontos de inflexão. Após simplificar, chegamos ao numerador da derivada segunda proporcional a
3x^3+8x^2-8x-4=0,
cujas raízes aproximadas são
xapprox -3,345, xapprox -0,379, xapprox 1,056
Esses valores, todos no domínio, são pontos de inflexão. Os valores de f nesses pontos são aproximadamente
f(-3,345)approx0,893, f(-0,379)approx-0,097, f(1,056)approx-0,575

Passo 6

Analisando o sinal de f'' em cada intervalo do domínio, obtemos:
- concavidade para cima (convexa) em
(-infty,-3,345),;(-1,-0,379),;(1,056,2),
- concavidade para baixo (côncava) em
(-3,345,-1),;(-0,379,1,056),;(2,infty)

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,2.
Assíntotas: verticais em x=-1,2; horizontal em y=1.
Crescimento: (-4,-1)cup(-1,0).
Decrescimento: (-infty,-4)cup(0,2)cup(2,infty).
Máximo em (0,0).
Mínimo em l(-4,tfrac89r).
Pontos de inflexão em
l(-3,345,;0,893r), l(-0,379,;-0,097r), l(1,056,;-0,575r)
Concavidade para cima em (-infty,-3,345)cup(-1,-0,379)cup(1,056,2).
Concavidade para baixo em (-3,345,-1)cup(-0,379,1,056)cup(2,infty).
Esboce o gráfico ressaltando essas informações e as assíntotas.

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