Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
indicando (i) domínio e assíntotas, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos, (iii) pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda e análise de assíntotas de funções racionais.
Passo 2
Determinamos o domínio e as assíntotas. A restrição vem de
então o domínio é
. Como grau do numerador e denominador coincidem, há assíntota horizontal
E há assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para monotonicidade:
O denominador é sempre positivo em cada intervalo do domínio. Zeros de
em
e
. Montamos o quadro de sinais de
:
decrescente em
,
crescente em
,
crescente em
,
decrescente em
,
decrescente em
.
Passo 4
Classificamos extremos relativos pelos sinais de
:
Em
,
vai de negativo para positivo
mínimo relativo.
Passo 5
Calculamos a derivada segunda e achamos pontos de inflexão. Após simplificar, chegamos ao numerador da derivada segunda proporcional a
cujas raízes aproximadas são
Esses valores, todos no domínio, são pontos de inflexão. Os valores de
nesses pontos são aproximadamente
Passo 6
Analisando o sinal de
em cada intervalo do domínio, obtemos:
concavidade para cima (convexa) em
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas: verticais em ; horizontal em
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Máximo em .
Mínimo em .
Pontos de inflexão em
Assíntotas: verticais em
Crescimento:
Decrescimento:
Máximo em
Mínimo em
Pontos de inflexão em
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Esboce o gráfico ressaltando essas informações e as assíntotas.
Concavidade para baixo em
Esboce o gráfico ressaltando essas informações e as assíntotas.