Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
f(x)=raiz[3]x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=raiz[3]x^2-1
indicando (i) valores de máximos e mínimos, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento, (iii) pontos de inflexão e (iv) intervalos de concavidade. Para isso vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Domínio: x^2-1 está em raiz[3]cdot, que aceita todo real, logo o domínio é R.
Derivada primeira: usando a regra da cadeia,
f'(x) =13(x^2-1)^-23cdot 2x =2x3,(x^2-1)^tfrac23
Os pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Temos f'(x)=0 em x=0 e f'(x) indefinida em x=pm1.

Passo 3

Para estudar o sinal de , note que sempre que . Então
Logo:
  • para (decresce em , com interrupções em ).
  • para (cresce em , com interrupções em ).
    Em há tangentes verticais (derivada explode).

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x) =-2(x^2+3)9,(x^2-1)^tfrac53
O numerador é sempre negativo, o denominador tem sinal de (x^2-1). Portanto:
  • Para |x|>1, x^2-1>0 Rightarrow f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para |x|<1, x^2-1<0 Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
    Mudança de sinal em x=pm1: são pontos de inflexão (aqui a curvatura troca).

Passo 5

Extremos:
  • Em x=0, f'(x) troca de negativo para positivo, logo há mínimo local (e global) em f(0)=raiz[3]-1=-1
  • Não há máximos locais.
    Comportamento nas bordas: limxtopminftyf(x)=+infty.

Resposta

Domínio: R.
Mínimo global em (0,-1).
Nenhum máximo.
Cresce em (0,1)cup(1,infty), decresce em (-infty,-1)cup(-1,0).
Concavidade para cima em (-1,1), para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
Pontos de inflexão (com tangente vertical) em x=pm1, onde f(pm1)=0.
Comportamento no infinito: f(x)sim|x|^2/3to+infty.

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