Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo (caso possa ser possível analisar estes itens).
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
indicando (i) valores de máximos e mínimos, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento, (iii) pontos de inflexão e (iv) intervalos de concavidade. Para isso vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Domínio:
está em
, que aceita todo real, logo o domínio é
.
Derivada primeira: usando a regra da cadeia,
Derivada primeira: usando a regra da cadeia,
Os pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe. Temos
em
e
indefinida em
.
Passo 3
Para estudar o sinal de
, note que
sempre que
. Então
Logo:
-
para (decresce em , com interrupções em ). -
para (cresce em , com interrupções em ).
Emhá tangentes verticais (derivada explode).
Passo 4
Derivada segunda:
O numerador é sempre negativo, o denominador tem sinal de
. Portanto:
- Para
, (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
Mudança de sinal em: são pontos de inflexão (aqui a curvatura troca).
Passo 5
Extremos:
- Em
, troca de negativo para positivo, logo há mínimo local (e global) em - Não há máximos locais.
Comportamento nas bordas:.
Resposta
Domínio:
.
Mínimo global em .
Nenhum máximo.
Cresce em , decresce em
.
Concavidade para cima em , para baixo em
.
Pontos de inflexão (com tangente vertical) em , onde
.
Comportamento no infinito: .
Mínimo global em
Nenhum máximo.
Cresce em
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão (com tangente vertical) em
Comportamento no infinito: