Considere a equação diferencial ( 1,5 ponto)
\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{2 x-y}
(a) Mostre que a equação é homogênea.
(b) Resolva a equação usando a substituição y=x t.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y}{2x-y}
e pede duas coisas:
(a) mostrar que a equação é homogênea;
(b) resolver a equação usando a substituição \;y=x t.
Informações dadas:
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com uma razão de funções lineares em x e y.
  • A substituição exigida é \;y=x t (onde t será função de x: t(x)=\dfrac{y(x)}{x}).

Passo 2

O que significa “equação homogênea” neste contexto (explicando devagar): uma equação do tipo
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right)
ou, equivalentemente, uma razão F(x,y) tal que ao dividir numerador e denominador por x (assumindo x\neq0) o resultado depende apenas de \dfrac{y}{x}. Vamos testar isso na razão dada.
Começo dividindo numerador e denominador por x:
\frac{x+2y}{2x-y}=\frac{x\left(1+2\frac{y}{x}\right)}{x\left(2-\frac{y}{x}\right)}=\frac{1+2\frac{y}{x}}{2-\frac{y}{x}}.
Como o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, isso mostra que a função do lado direito é de fato uma função de \dfrac{y}{x} somente — portanto a equação é homogênea.

Passo 3

Agora vamos aplicar a substituição pedida e explicar por que ela é útil. Defina
y=x t,\qquad\text{onde}\qquad t=t(x)=\frac{y}{x}.
Derivando ambos os lados em relação a x (regra do produto), obtemos
\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}.
Isto transforma a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de t e \dfrac{dt}{dx}. O objetivo é transformar a equação diferencial original numa equação separável em t e x.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx} e y=x t na equação original:
t+x\frac{dt}{dx}=\frac{1+2t}{2-t}.
Agora isolo x\frac{dt}{dx}:
x\frac{dt}{dx}=\frac{1+2t}{2-t}-t.
Faço a simplificação do lado direito com denominador comum 2-t:
\frac{1+2t}{2-t}-t=\frac{1+2t - t(2-t)}{2-t}=\frac{1+2t-2t+t^2}{2-t}=\frac{1+t^2}{2-t}.
Logo chegamos à equação separável
x\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2-t}.

Passo 5

Separe as variáveis t e x. Coloco todos os termos em t no lado esquerdo e x no direito:
\frac{2-t}{1+t^2}\,dt=\frac{dx}{x}.
Isto é agora uma equação que pode ser integrada diretamente: o lado esquerdo é uma soma de termos cuja primitiva conhecemos, e o lado direito é \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C.

Passo 6

Calculo a integral do lado esquerdo passo a passo. Escrevo a fração como soma de duas frações mais simples:
\frac{2-t}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}-\frac{t}{1+t^2}.
As integrais conhecidas são \int \dfrac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan t e \int \dfrac{t}{1+t^2}\,dt=\tfrac{1}{2}\ln(1+t^2). Portanto
\int\frac{2-t}{1+t^2}\,dt=\int\frac{2}{1+t^2}\,dt-\int\frac{t}{1+t^2}\,dt =2\arctan t-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+t^2\bigr)+C.
Igualando à integral do lado direito \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C, obtemos a relação implícita
2\arctan t-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+t^2\bigr)=\ln|x|+C.

Passo 7

Volto à variável original usando t=\dfrac{y}{x}. Substituindo na expressão implícita obtemos a solução geral (implícita):
2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\tfrac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária. Se preferir uma forma sem frações, multiplico tudo por 2 e absorvo constantes:
4\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=2\ln|x|+C'.
Ambas as formas representam a família de curvas solução da equação diferencial dada.

Resposta

(a) Sim. Porque
\frac{x+2y}{2x-y}=\frac{1+2\frac{y}{x}}{2-\frac{y}{x}},
que depende apenas de \dfrac{y}{x}, logo a equação é homogênea.
(b) Solução implícita geral:
2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\tfrac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=\ln|x|+C.

Exercícios relacionados