Considere a equação diferencial ( 1,5 ponto)
(a) Mostre que a equação é homogênea.
(b) Resolva a equação usando a substituição
.
(b) Resolva a equação usando a substituição
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
(a) mostrar que a equação é homogênea;
(b) resolver a equação usando a substituição .
(a) mostrar que a equação é homogênea;
(b) resolver a equação usando a substituição
Informações dadas:
- A equação relaciona
com uma razão de funções lineares em e . - A substituição exigida é
(onde será função de : ).
Passo 2
O que significa “equação homogênea” neste contexto (explicando devagar): uma equação do tipo
ou, equivalentemente, uma razão
tal que ao dividir numerador e denominador por
(assumindo
) o resultado depende apenas de
. Vamos testar isso na razão dada.
Começo dividindo numerador e denominador por
:
Como o lado direito depende apenas da razão
, isso mostra que a função do lado direito é de fato uma função de
somente — portanto a equação é homogênea.
Passo 3
Agora vamos aplicar a substituição pedida e explicar por que ela é útil. Defina
Derivando ambos os lados em relação a
(regra do produto), obtemos
Isto transforma a derivada
em termos de
e
. O objetivo é transformar a equação diferencial original numa equação separável em
e
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Agora isolo
:
Faço a simplificação do lado direito com denominador comum
:
Logo chegamos à equação separável
Passo 5
Separe as variáveis
e
. Coloco todos os termos em
no lado esquerdo e
no direito:
Isto é agora uma equação que pode ser integrada diretamente: o lado esquerdo é uma soma de termos cuja primitiva conhecemos, e o lado direito é
.
Passo 6
Calculo a integral do lado esquerdo passo a passo. Escrevo a fração como soma de duas frações mais simples:
As integrais conhecidas são
e
. Portanto
Igualando à integral do lado direito
, obtemos a relação implícita
Passo 7
Volto à variável original usando
. Substituindo na expressão implícita obtemos a solução geral (implícita):
onde
é constante arbitrária. Se preferir uma forma sem frações, multiplico tudo por
e absorvo constantes:
Ambas as formas representam a família de curvas solução da equação diferencial dada.
Resposta
(a) Sim. Porque
que depende apenas de
, logo a equação é homogênea.
(b) Solução implícita geral: