Considere a equação diferencial x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0. Responda:
a) Sabendo que y_{1}(x)=x é uma solução da EDO acima, use o método de d’Alembert para determinar uma segunda solução.
Para determinar a segunda solução, bsucamos por uma y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)=v(x) x. Logo y_{2}^{\prime}= v^{\prime} x+v e y_{2}^{\prime \prime}=v^{\prime \prime} x+2 v^{\prime}. Substiuindo na EDO:
\begin{aligned} x^{2} y_{2}^{\prime \prime}+3 x y_{2}^{\prime}-3 y_{2} & =0 \\\ x^{2}\left(v^{\prime \prime} x+2 v^{\prime}\right)+3 x\left(v^{\prime} x+v\right)-3 v x & =0 \\\ x^{3} v^{\prime \prime}+2 x^{2} v^{\prime}+3 x^{2} v^{\prime}+3 x v-3 v x & =0 \\\ x^{3} v^{\prime \prime}+5 x^{2} v^{\prime} & =0 \end{aligned}
A equação acima é resolvida fazendo a substituição v^{\prime}=z e v^{\prime \prime}=z^{\prime}. Daí
\begin{aligned} x^{3} z^{\prime}+5 x^{2} z & =0 \\\ x^{3} \frac{d z}{d x} & =-5 x^{2} z \\\ \frac{d z}{z} & =-\frac{5}{x} d x \\\ \ln |z| & =-5 \ln |x|+C \\\ z & =\frac{A}{x^{5}} \end{aligned}
E daí, voltando para v, temos v^{\prime}=z=\frac{A}{x^{5}}. Logo v=-\frac{A}{4 x^{4}}=\frac{B}{x^{4}}. Portanto, fazendo B=1 \mathrm{e} substituindo na expressão para y_{2} temos
\begin{gathered} y_{2}=v y_{1}=\frac{1}{x^{4}} x=\frac{1}{x^{3}} \\\ y_{2}=\frac{1}{x^{3}} \end{gathered}
b) Determine a solução geral da EDO.
A solução geral é qualquer combinação linear de y_{1} e y_{2} \cdot \operatorname{Logo} y=C x+\frac{D}{x^{3}}.
c) Determine a função solução da EDO que satisfaz também y(1)=0 e y^{\prime}(1)=4.
Como uma das condições iniciais envolve a derivada, vamos derivar a solução geral obtida no item anterior e obter y^{\prime}=C-\frac{3 D}{x^{4}}. Agora usando as condições iniciais:
\begin{array}{rlrl} y(1) & =0 & y^{\prime}(1) & =4 \\\ C+D & =0 & C-3 D & =4 \\\ C & =-D & -D-3 D & =4 \\\ & -D & =1 \\\ C & =1 & -4 D & =4 \end{array}
Por isso, a solução é
y=x-\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x^{2}y''+3xy'-3y=0
sabendo que uma solução é y_{1}(x)=x. Vamos usar o método de d’Alembert (redução de ordem) para obter uma segunda solução y_{2}, depois montar a solução geral e, por fim, aplicar as condições y(1)=0 e y'(1)=4.

Passo 2

Suponha
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)\,x.
Então
y_{2}'=v' x + v,
y_{2}''=v'' x + 2v'.
Substituindo na EDO:
x^{2}(v''x+2v')+3x(v'x+v)-3(vx)=0
que simplifica para
x^{3}v''+5x^{2}v'=0.

Passo 3

Defina z=v'. A equação torna-se
x^{3}z'+5x^{2}z=0.
Escrevendo z'=\frac{dz}{dx} e separando variáveis:
\frac{dz}{z}=-5\frac{dx}{x}
\ln|z|=-5\ln|x|+C
z=v'=A\,x^{-5}.
Integramos para obter
v=\int A\,x^{-5}dx=-\frac{A}{4}x^{-4}+B.
O termo constante B gera múltiplos de y_{1}, então escolhemos B=0 e tomamos a parte essencial x^{-4}. Assim
y_{2}(x)=x\cdot x^{-4}=x^{-3}.

Passo 4

As duas soluções independentes são y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x^{-3}. Logo a solução geral é
y(x)=C\,x+D\,x^{-3}.

Passo 5

Derivando,
y'(x)=C-3D\,x^{-4}.
Impondo y(1)=0 e y'(1)=4
C+D=0,
C-3D=4.
Da primeira D=-C. Substituindo na segunda:
C-3(-C)=4\implies 4C=4\implies C=1,\quad D=-1.
Portanto a solução particular é
y(x)=x-\frac{1}{x^{3}}.

Resposta

y(x)=x-\frac{1}{x^{3}}.

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