Considere a equação diferencial
. Responda:
a) Sabendo que
é uma solução da EDO acima, use o método de d’Alembert para determinar uma segunda solução.
Para determinar a segunda solução, bsucamos por uma
. Logo
e
. Substiuindo na EDO:
A equação acima é resolvida fazendo a substituição
e
. Daí
E daí, voltando para
, temos
. Logo
. Portanto, fazendo
substituindo na expressão para
temos
b) Determine a solução geral da EDO.
A solução geral é qualquer combinação linear de
e
.
c) Determine a função solução da EDO que satisfaz também
e
.
Como uma das condições iniciais envolve a derivada, vamos derivar a solução geral obtida no item anterior e obter
. Agora usando as condições iniciais:
Por isso, a solução é
a) Sabendo que
Para determinar a segunda solução, bsucamos por uma
c) Determine a função solução da EDO que satisfaz também
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
sabendo que uma solução é
. Vamos usar o método de d’Alembert (redução de ordem) para obter uma segunda solução
, depois montar a solução geral e, por fim, aplicar as condições
e
.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na EDO:
que simplifica para
Passo 3
Defina
. A equação torna-se
Escrevendo
e separando variáveis:
Integramos para obter
O termo constante
gera múltiplos de
, então escolhemos
e tomamos a parte essencial
. Assim
Passo 4
As duas soluções independentes são
e
. Logo a solução geral é
Passo 5
Derivando,
Impondo
e
dá
Da primeira
. Substituindo na segunda:
Portanto a solução particular é