Encontre f(0) sabendo que f’’’(θ)=cos θ, f(θ)=1, f’(0)=2 e f’’(0)=3.

Passo 1

O enunciado diz que a função f satisfaz
f'''(\theta)=\cos\theta,
além de
f(\pi)=1,\quad f'(0)=2,\quad f''(0)=3.
Queremos determinar f(0). O conteúdo envolvido é a integração sucessiva da terceira derivada e a aplicação das condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a terceira derivada para obter f''(\theta). Como
f'''(\theta)=\cos\theta,
temos
f''(\theta)=\int \cos\theta\,d\theta = \sin\theta + A,
onde A é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição f''(0)=3. Avaliando em \theta=0,
f''(0)=\sin 0 + A = 0 + A = A = 3.
Logo
f''(\theta)=\sin\theta + 3.

Passo 4

Agora integramos f''(\theta) para achar f'(\theta):
f'(\theta)=\int (\sin\theta +3)\,d\theta =-\cos\theta + 3\theta + B,
onde B é nova constante de integração.

Passo 5

Aplicamos f'(0)=2. Em \theta=0:
f'(0)=-\cos 0 + 3\cdot0 + B = -1 + B = 2 \;\Longrightarrow\;B=3.
Assim
f'(\theta)=-\cos\theta + 3\theta + 3.

Passo 6

Integramos f'(\theta) para obter f(\theta):
f(\theta)=\int \bigl(-\cos\theta +3\theta +3\bigr)\,d\theta =-\sin\theta + \frac{3}{2}\theta^2 +3\theta + C,
com C constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição f(\pi)=1. Em \theta=\pi:
f(\pi)=-\sin\pi + \frac{3}{2}\pi^2 +3\pi + C =0 + \frac{3}{2}\pi^2 +3\pi + C = 1 \;\Longrightarrow\; C = 1 - \frac{3}{2}\pi^2 -3\pi.

Passo 8

Finalmente, calculamos f(0). Em \theta=0:
f(0)=-\sin0 + \frac{3}{2}\cdot0^2 +3\cdot0 + C = C = 1 - \frac{3}{2}\pi^2 -3\pi.

Resposta

f(0)=1 - \frac{3}{2}\pi^2 -3\pi.

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