Um investidor deposita capital em um fundo cuja taxa de juros varia com o tempo, de forma que a taxa instantânea de juros é dada por \cos (t). Além disso, o fundo recebe depósitos periódicos externos de capital de acordo com a função e^{\operatorname{sen}(t)}. Seja P(t) o valor do capital no fundo no instante t, e admita que a dinâmica desse capital seja modelada pela seguinte equação diferencial:
P^{\prime}-\cos (t) P=e^{\operatorname{sen}(t)}
a) Determine a solução geral da EDO
Como a EDO é linear primeira ordem, vamos usar o fator integrante. Para isso temos f(t)= -\cos t. Daí
\int f(t) d t=-\int \cos t d t=-\operatorname{sen} t
Logo \mu(t)=e^{-\operatorname{sen} t}. Multiplicando a EDO por \mu(t) temos
\begin{aligned} e^{-\operatorname{sen} t} P^{\prime}-\cos (t) e^{-\operatorname{sen}(t)} P & =e^{\operatorname{sen} t} e^{-\operatorname{sen} t} \\\ \left(e^{-\operatorname{sen} t} P\right)^{\prime} & =1 \end{aligned}
Integrando, temos
\begin{aligned} e^{-\operatorname{sen} t} P & =t+C \\\ P & =(t+C) e^{\operatorname{sen} t} \end{aligned}
b) Suponha que no instante instante t=0 há somente \mathrm{R} \ 1$ investido no fundo. Determine a função solução do PVI.
Como P(0)=1, temos
1=(0+C) e^{\operatorname{sen} 0}=C
Logo a solulção do PVI é P=(t+1) e^{\operatorname{sen} t}
c) Como a taxa de juros do fundo assume valores positivos e também negativos, o investidor pode acabar perdendo dinheiro e até zerando seu capital dependendo de como opera o fundo. Na solução encontrada no item b), existe algum instante em que o investidor perderá todo o valor investido para t>0 ? Se sim, qual?
Para que o investidor perca todo o valor, devemos ter t>0 satisfazendo P(t)=0. Isto é (t+1) e^{\text {sen } t}=0. Como a exponencial nunca é zero, devemos ter t+1=0, isto é t=-1. Logo, o único instante que a função se anularia seria em t=-1<0. Portanto, o investidor nunca perderá todo o valor.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
P'(t)-\cos(t)\,P(t)=e^{\sin(t)}
e pede: a) solução geral; b) solução do PVI com P(0)=1; c) verificar se existe t>0 tal que P(t)=0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver a EDO.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de P como
f(t)=-\cos(t).
Calculamos o fator integrante \mu(t) por
\int f(t)\,dt=-\int \cos(t)\,dt=-\sin(t),
logo
\mu(t)=e^{-\sin(t)}.

Passo 3

Multiplicando a EDO original por \mu(t), obtemos
e^{-\sin(t)}P'(t)-\cos(t)\,e^{-\sin(t)}P(t)=e^{\sin(t)}\,e^{-\sin(t)}=1.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{-\sin(t)}P(t)\bigr)'=1.

Passo 4

Integramos em t:
e^{-\sin(t)}P(t)=\int 1\,dt=t+C,
logo a solução geral é
P(t)=(t+C)\,e^{\sin(t)}.

Passo 5

Para o PVI com P(0)=1, substituímos t=0:
1=(0+C)\,e^{\sin(0)}=C\cdot1\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Assim, a solução particular é
P(t)=(t+1)\,e^{\sin(t)}.

Passo 6

Procuramos t>0 tal que P(t)=0, ou seja
(t+1)\,e^{\sin(t)}=0.
Como e^{\sin(t)}>0 para todo t, exige-se t+1=0, isto é t=-1. Mas esse valor é negativo, logo não existe t>0 que zere P(t).

Resposta

a) P(t)=(t+C)\,e^{\sin(t)}.
b) P(t)=(t+1)\,e^{\sin(t)}.
c) Não existe t>0 tal que P(t)=0.

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