Um investidor deposita capital em um fundo cuja taxa de juros varia com o tempo, de forma que a taxa instantânea de juros é dada por
. Além disso, o fundo recebe depósitos periódicos externos de capital de acordo com a função
. Seja
o valor do capital no fundo no instante
, e admita que a dinâmica desse capital seja modelada pela seguinte equação diferencial:
a) Determine a solução geral da EDO
Como a EDO é linear primeira ordem, vamos usar o fator integrante. Para isso temos
. Daí
Logo
. Multiplicando a EDO por
temos
Integrando, temos
b) Suponha que no instante instante
há somente
1$ investido no fundo. Determine a função solução do PVI.
Como
, temos
Logo a solulção do PVI é
c) Como a taxa de juros do fundo assume valores positivos e também negativos, o investidor pode acabar perdendo dinheiro e até zerando seu capital dependendo de como opera o fundo. Na solução encontrada no item b), existe algum instante em que o investidor perderá todo o valor investido para
? Se sim, qual?
Para que o investidor perca todo o valor, devemos ter
satisfazendo
. Isto é
. Como a exponencial nunca é zero, devemos ter
, isto é
. Logo, o único instante que a função se anularia seria em
. Portanto, o investidor nunca perderá todo o valor.
Como
c) Como a taxa de juros do fundo assume valores positivos e também negativos, o investidor pode acabar perdendo dinheiro e até zerando seu capital dependendo de como opera o fundo. Na solução encontrada no item b), existe algum instante em que o investidor perderá todo o valor investido para
Para que o investidor perca todo o valor, devemos ter
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
e pede: a) solução geral; b) solução do PVI com
; c) verificar se existe
tal que
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver a EDO.
Passo 2
Identificamos o coeficiente de
como
Calculamos o fator integrante
por
logo
Passo 3
Multiplicando a EDO original por
, obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos em
:
logo a solução geral é
Passo 5
Para o PVI com
, substituímos
:
Assim, a solução particular é
Passo 6
Procuramos
tal que
, ou seja
Como
para todo
, exige-se
, isto é
. Mas esse valor é negativo, logo não existe
que zere
.
Resposta
a)
.
b) .
c) Não existe tal que
.
b)
c) Não existe