Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2} \\\ y(0)=-1, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.
a) Determine a solução geral da EDO
Para determinar a solução, precisamos reduzir a ordem da EDO fazendo y^{\prime}=p(y) e daí y^{\prime \prime}=p^{\prime} p.
Substituindo na EDO:
\begin{aligned} y y^{\prime \prime} & =\left(y^{\prime}\right)^{2} \\\ y p^{\prime} p & =p^{2} \\\ y p^{\prime} & =p \\\ y \frac{d p}{d y} & =p \\\ \int \frac{d p}{p} & =\int \frac{d y}{y} \\\ \ln |p| & =\ln |y|+C \\\ p & =A y \end{aligned}
Portanto, voltando para a relação y^{\prime}=p, obtemos
\begin{aligned} y^{\prime} & =A y \\\ \frac{d y}{d x} & =A y \\\ \int \frac{d y}{y} & =A \int d x \\\ \ln |y| & =A x+C \\\ y & =B e^{A x} \end{aligned}
b) Determine a solução do PVI
Do item anterior temos que y=B e^{A x} e y^{\prime}=A B e^{A x}. Portanto, das condições iniciais temos
\begin{aligned} B=y(0) & A B & =y^{\prime}(0)=1 \\\ B=-1 & -A & =1 \\\ & A & =-1 \end{aligned}
Portanto y=-e^{-x}

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\begin{cases} y\,y'' = (y')^2,\\\ y(0) = -1,\quad y'(0)=1, \end{cases}
e pede:
a) a solução geral da EDO;
b) a solução que satisfaz as condições iniciais.
O método é reduzir a ordem definindo y'=p(y).

Passo 2

Fazendo y'=p(y) e y''=p'(y)\,y'=p'(y)\,p, substituímos na EDO:
y\,p'\,p = p^2.
Dividindo por p (supondo p\neq0):
y\,\frac{dp}{dy} = p.
Separamos variáveis e integramos:
\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y}
\ln|p| = \ln|y| + C \quad\Longrightarrow\quad p = A\,y,
onde A=e^C é constante.

Passo 3

Voltando para y', temos
y' = A\,y.
Novamente separamos variáveis e integramos:
\int \frac{dy}{y} = A \int dx
\ln|y| = A\,x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad y = B\,e^{A x},
com B = e^{C_1}. Essa é a solução geral da EDO.

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
\displaystyle y(0)=B=-1.
Como y'(x)=A\,B\,e^{A x}, temos
y'(0)=A\,B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A\cdot(-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad A=-1.

Resposta

a) A solução geral é
y = B\,e^{A x},
com A,B constantes.
b) A solução do PVI é
y = -e^{-x}.

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