As oscilações livres em um sistema massa-mola com amortecimento são governadas pela equação diferencial
a) Determine a solução geral da EDO.
A equação característica é
que tem uma única raíz real distinta
. Portanto, a solução geral é
b) Se a massa inicia seu movimento a partir da posição inicial
, com velocidade inicial
, qual a função
satisfaz este PVI?
A posição inicial é
. A velocidade inicial é
, e para usar ela vamos derivar a solução geral:
. Assim, temos
Portanto, a solução do PVI é
c) Qual a condição que
deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio? Para que o bloco passe pela posição de equilíbrio em algum instante
, devemos ter
para algum
. Por isso vamos resolver
:
Portanto o bloco passa pela posição de equilíbrio quando
, e para que isso seja positivo, devemos ter o denominador negativo, isto é,
, ou seja
.
A posição inicial é
Passo 1
O enunciado trata de oscilações livres amortecidas descritas por uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a saber
Para resolver isso, vamos usar o método da equação característica e em seguida aplicar condições iniciais para determinar a solução particular do problema de valor inicial (PVI).
Passo 2
Começamos obtendo a equação característica associada à EDO, substituindo
:
Esse polinômio tem uma raiz dupla, pois
Passo 3
Quando a raiz
é dupla, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora impomos
e
. Primeiro,
Em seguida, calculamos
logo em
temos
Como
, então
Portanto, a solução do PVI é
Passo 5
Para que a massa passe pela posição de equilíbrio
em algum
, resolvemos
Queremos
, daí
Resposta
A condição para que a massa passe pela posição de equilíbrio em algum instante
é