As oscilações livres em um sistema massa-mola com amortecimento são governadas pela equação diferencial
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0
a) Determine a solução geral da EDO.
A equação característica é \lambda^{2}+2 \lambda+1=0 que tem uma única raíz real distinta \lambda=-1. Portanto, a solução geral é
y=A e^{-t}+B t e^{-t}
b) Se a massa inicia seu movimento a partir da posição inicial y(0)=1, com velocidade inicial v_{0}, qual a função y(t) satisfaz este PVI?
A posição inicial é y(0)=1. A velocidade inicial é y^{\prime}(0)=v_{0}, e para usar ela vamos derivar a solução geral: y^{\prime}=-A e^{-t}+B e^{-t}-B t e^{-t}. Assim, temos
\begin{array}{rlrl} y(0)=1 & y^{\prime}(0) & =v_{0} \\\ \hline A=1 & -A+B & =v_{0} \\\ B & =v_{0}+A \\\ B & =v_{0}+1 \end{array}
Portanto, a solução do PVI é
y=e^{-t}+\left(v_{0}+1\right) t e^{-t}
c) Qual a condição que v_{0} deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio? Para que o bloco passe pela posição de equilíbrio em algum instante t>0, devemos ter y(t)=0 para algum t>0. Por isso vamos resolver y(t)=0 :
\begin{aligned} y(t) & =0 \\\ e^{-t}+\left(v_{0}+1\right) t e^{-t} & =0 \\\ \left(v_{0}+1\right) t e^{-t} & =-e^{-t} \\\ t & =-\frac{e^{-t}}{\left(v_{0}+1\right) e^{-t}} \\\ t & =-\frac{1}{v_{0}+1} \end{aligned}
Portanto o bloco passa pela posição de equilíbrio quando t=-\frac{1}{v_{0}+1}, e para que isso seja positivo, devemos ter o denominador negativo, isto é, v_{0}+1<0, ou seja v_{0}<-1.

Passo 1

O enunciado trata de oscilações livres amortecidas descritas por uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a saber
y'' + 2y' + y = 0.
Para resolver isso, vamos usar o método da equação característica e em seguida aplicar condições iniciais para determinar a solução particular do problema de valor inicial (PVI).

Passo 2

Começamos obtendo a equação característica associada à EDO, substituindo y=e^{\lambda t}:
\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0.
Esse polinômio tem uma raiz dupla, pois
\lambda^2 + 2\lambda + 1 = (\lambda + 1)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -1 \text{ (multiplicidade 2)}.

Passo 3

Quando a raiz \lambda=-1 é dupla, a solução geral da EDO é
y(t) = \bigl(A + B\,t\bigr)e^{-t},
onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora impomos y(0)=1 e y'(0)=v_{0}. Primeiro,
y(0)=A + B\cdot 0 = A = 1.
Em seguida, calculamos
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((A + B\,t)e^{-t}\bigr) = \bigl(B - (A + B\,t)\bigr)e^{-t} = \bigl(B - A - B\,t\bigr)e^{-t},
logo em t=0 temos
y'(0) = (B - A)e^{0} = B - A = v_{0}.
Como A=1, então
B = v_{0} + A = v_{0} + 1.
Portanto, a solução do PVI é
y(t) = e^{-t} + (v_{0} + 1)\,t\,e^{-t}.

Passo 5

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio y=0 em algum t>0, resolvemos
y(t)=0 \;\Longrightarrow\; e^{-t}\bigl[1 + (v_{0} + 1)\,t\bigr] = 0 \;\Longrightarrow\; 1 + (v_{0} + 1)\,t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{v_{0} + 1}.
Queremos t>0, daí
-\frac{1}{v_{0} + 1} > 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{0} + 1 < 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{0} < -1.

Resposta

A condição para que a massa passe pela posição de equilíbrio em algum instante t>0 é
v_{0} < -1.

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