Considere a equação diferencial
Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de 10 grau.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Nosso objetivo é encontrar uma solução que seja um polinômio de 10º grau, ou seja, uma função do tipo:
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar esse polinômio e substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a nossa função
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Essas derivadas são essenciais porque vamos substituí-las na equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Nosso objetivo é que essa equação seja válida para todo
, o que significa que os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 4
Vamos expandir os termos:
-
Multiplicando
pela segunda derivada: -
Multiplicando
pela primeira derivada: -
Subtraindo
:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo e agrupar os termos semelhantes:
Organizando por potências de
:
-
: -
: - E assim por diante para cada potência.
Passo 6
Para que a equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos um sistema de equações:
-
-
-
- Até a constante
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - Substituindo
em , temos → . - Continuando desse jeito, todos os coeficientes
serão zero.
Passo 8
Isso indica que a única solução polinomial que satisfaz a equação diferencial é a função zero:
Resposta
A solução polinomial de 10º grau da equação diferencial dada é a função nula: