Considere a equação diferencial
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0
Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de 10 grau.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Nosso objetivo é encontrar uma solução que seja um polinômio de 10º grau, ou seja, uma função do tipo:
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar esse polinômio e substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a nossa função . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Essas derivadas são essenciais porque vamos substituí-las na equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Nosso objetivo é que essa equação seja válida para todo , o que significa que os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 4

Vamos expandir os termos:
  1. Multiplicando pela segunda derivada:
  2. Multiplicando pela primeira derivada:
  3. Subtraindo :

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo e agrupar os termos semelhantes:
Organizando por potências de :
  • :
  • :
  • E assim por diante para cada potência.

Passo 6

Para que a equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos um sistema de equações:
  1. Até a constante

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em , temos .
  3. Continuando desse jeito, todos os coeficientes serão zero.

Passo 8

Isso indica que a única solução polinomial que satisfaz a equação diferencial é a função zero:

Resposta

A solução polinomial de 10º grau da equação diferencial dada é a função nula:

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