Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' + 4y = sen(x) Resposta: y_p = 1/8 (1 - x sen(2 x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. O que precisamos fazer aqui é encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar saber:
  • Como resolver a equação homogênea associada.
  • Encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é igual a zero:
Vamos encontrar as soluções dessa equação, que nos dão a solução geral da homogênea.

Passo 3

Para resolver a homogênea, assumimos soluções da forma . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

As raízes são complexas: e . Para soluções com raízes complexas na forma , a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa usando o método de variação de parâmetros. A ideia aqui é assumir que e não são constantes, mas funções de x.
Então, escrevemos:

Passo 6

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas do método de variação de parâmetros:
Onde:
  • (lado direito da EDO)
  • W é o Wronskiano de e .

Passo 7

Calculando o Wronskiano ( W):

Passo 8

Agora, aplicamos as fórmulas para e :

Passo 9

Integrando para encontrar e :
Para :
Usamos a identidade :
Ignoramos a constante de integração, pois já está inclusa na solução homogênea.
Para :
Usando a identidade , ou substituição direta:

Passo 10

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Aplicando identidades trigonométricas para simplificar:
Observe que e similar para .
Após simplificar e combinar termos, chegamos na solução particular:

Resposta

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