Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. O que precisamos fazer aqui é encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar saber:
- Como resolver a equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é igual a zero:
Vamos encontrar as soluções dessa equação, que nos dão a solução geral da homogênea.
Passo 3
Para resolver a homogênea, assumimos soluções da forma
. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
As raízes são complexas:
e
. Para soluções com raízes complexas na forma
, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa usando o método de variação de parâmetros. A ideia aqui é assumir que
e
não são constantes, mas funções de
.
Então, escrevemos:
Passo 6
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas do método de variação de parâmetros:
Onde:
-
-
-
(lado direito da EDO) -
é o Wronskiano de e .
Passo 7
Calculando o Wronskiano (
):
Passo 8
Agora, aplicamos as fórmulas para
e
:
Passo 9
Integrando para encontrar
e
:
Para
:
Usamos a identidade
:
Ignoramos a constante de integração, pois já está inclusa na solução homogênea.
Para
:
Usando a identidade
, ou substituição direta:
Passo 10
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 11
Aplicando identidades trigonométricas para simplificar:
Observe que
e similar para
.
Após simplificar e combinar termos, chegamos na solução particular: