Considere a equação diferencial y'' - ω² y = 0, para omega > 0.
Mostre que y(t) = c1 * e^(-omega * (t - a)) + c2 * e^(omega * (t - a)), para a in R fixo, é solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo , onde omega é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar que a função é a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos entender como encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem como essa, a gente assume uma solução da forma , onde r é um número que a gente vai descobrir. Então, substituindo y(t) e suas derivadas na equação original.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • A primeira derivada de y(t) é .
  • A segunda derivada é .
Agora, substituindo na equação :

Passo 4

Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter a equação característica:
Resolvendo para r:
Então, as soluções para r são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, observe que a função que a gente quer mostrar como solução geral é . Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Isso é equivalente a:
Como c1 e c2 são constantes arbitrárias, podemos redefinir as constantes:
Então:
Isso mostra que é, de fato, a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

Sim, a função é a solução geral da equação diferencial .

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