Considere a equação diferencial
, para
.
Mostre que
, para
fixo, é solução geral da equação diferencial.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, onde
é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar que a função
é a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos entender como encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem como essa, a gente assume uma solução da forma
, onde
é um número que a gente vai descobrir. Então, substituindo
e suas derivadas na equação original.
Passo 3
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada de
é . - A segunda derivada é
.
Agora, substituindo na equação
:
Passo 4
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Resolvendo para
:
Então, as soluções para
são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, observe que a função que a gente quer mostrar como solução geral é
. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Isso é equivalente a:
Como
e
são constantes arbitrárias, podemos redefinir as constantes:
Então:
Isso mostra que
é, de fato, a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
Sim, a função
é a solução geral da equação diferencial
.