Determine
valor(es) da constante k para que a função
seja solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) da constante
tais que a função
seja solução da equação diferencial
Informações dadas:
onde
é constante (número real) que devemos descobrir. A equação diferencial é linear homogênea de segunda ordem, mas aqui não precisamos da teoria completa: basta verificar se a função proposta satisfaz a equação, isto é, substituir
,
e
na equação e achar
.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas de
. Lembre-se da regra: a derivada de
em relação a
é
(isso vem da regra da cadeia).
Derivando:
Derivando novamente:
Aqui explicito:
é constante em relação a
, então sai da derivada.
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero) obtemos:
Passo 4
Simplificamos o polinômio em
:
Portanto a condição para que a função seja solução é
Como
para todo
, a única maneira dessa expressão ser zero para todo
é ter
Fatorando:
Assim as soluções para
são
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
-
dá , que é a solução trivial da equação homogênea (sempre válida). - Para
, temos . Substituindo nas expressões já obtidas:
logo também funciona.