Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) valor(es) da constante k para que a função y=k e^{2 x} seja solução da equação diferencial y^{\prime \prime}-k y^{\prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) da constante k tais que a função y = k e^{2x} seja solução da equação diferencial
y'' - k y' + y = 0.
Informações dadas:
y(x)=k e^{2x},
onde k é constante (número real) que devemos descobrir. A equação diferencial é linear homogênea de segunda ordem, mas aqui não precisamos da teoria completa: basta verificar se a função proposta satisfaz a equação, isto é, substituir y, y' e y'' na equação e achar k.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas de y. Lembre-se da regra: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax} (isso vem da regra da cadeia).
y(x)=k e^{2x}.
Derivando:
y'(x)=k\frac{d}{dx}e^{2x}=k\cdot 2 e^{2x}=2k e^{2x}.
Derivando novamente:
y''(x)=\frac{d}{dx}(2k e^{2x})=2k\cdot 2 e^{2x}=4k e^{2x}.
Aqui explicito: k é constante em relação a x, então sai da derivada.

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
y''-k y'+y = 4k e^{2x} - k(2k e^{2x}) + k e^{2x}.
Fatorando e^{2x} (que nunca é zero) obtemos:
4k e^{2x} - 2k^2 e^{2x} + k e^{2x} = e^{2x}\bigl(4k - 2k^2 + k\bigr).

Passo 4

Simplificamos o polinômio em k:
4k - 2k^2 + k = 5k - 2k^2.
Portanto a condição para que a função seja solução é
e^{2x}\bigl(5k - 2k^2\bigr)=0.
Como e^{2x}>0 para todo x, a única maneira dessa expressão ser zero para todo x é ter
5k - 2k^2 = 0.
Fatorando:
k(5-2k)=0.
Assim as soluções para k são
k=0 \quad\text{ou}\quad k=\frac{5}{2}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • k=0 y\equiv 0, que é a solução trivial da equação homogênea (sempre válida).
  • Para k=\dfrac{5}{2}, temos y=\dfrac{5}{2}e^{2x}. Substituindo nas expressões já obtidas:
y''-k y'+y = e^{2x}\cdot k(5-2k)=e^{2x}\cdot \frac{5}{2}\bigl(5-2\cdot\frac{5}{2}\bigr)=e^{2x}\cdot\frac{5}{2}\cdot 0=0,
logo também funciona.

Resposta

k=0
k=\dfrac{5}{2}

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