Considere a equação diferencial
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+lambda y=0
Resolva a equação pelo método de Frobenius (em torno de z=0 ) e ache os valores de lambda tais que uma das soluções seja analítica nos pontos singulares. Mostre que essa solução é um polinômio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. O enunciado nos dá a equação
(1 - x^2) y'' - x y' + lambda y = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de lambda para os quais uma das soluções dessa equação é analítica nos pontos singulares e mostrar que essa solução é um polinômio. Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares de equações diferenciais e como o Método de Frobenius nos ajuda a encontrar soluções em torno desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação. Uma equação diferencial de segunda ordem pode ter pontos singulares onde os coeficientes das derivadas não são analíticos. Na nossa equação:
(1 - x^2) y'' - x y' + lambda y = 0
Os coeficientes são 1 - x^2, -x e lambda. O ponto singular acontece quando 1 - x^2 = 0, ou seja, quando x = pm 1. Porém, como queremos resolver em torno de z = 0, que não é um ponto singular, estamos trabalhando em uma região regular. Mas, como x = pm 1 são pontos onde a equação pode se comportar de forma especial, precisamos analisar a solução perto desses pontos.

Passo 3

Agora vamos aplicar o Método de Frobenius. Esse método é usado para encontrar soluções de equações diferenciais perto de pontos singulares regulares. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de x, ou seja:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n = a0x^r + a1x^r+1 + a2x^r+2 + dots
onde r é um número que precisamos determinar, e an são coeficientes a serem encontrados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1
y''(x) = sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -2

Passo 5

Substituímos y, y' e y'' na equação original:
(1 - x^2) [ sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -2 ] - x [ sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1 ] + lambda [ sumn=0^infty an x^r + n ] = 0
Vamos distribuir o 1 - x^2:
sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -2 - sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n - sumn=0^infty an (r + n) x^r + n + lambda sumn=0^infty an x^r + n = 0

Passo 6

Vamos reescrever as séries para que todas tenham o mesmo expoente de x, facilitando a comparação dos coeficientes. Vamos ajustar os índices das somas quando necessário.
Primeiro, o termo com x^r + n -2, vamos substituir m = n - 2 para alinhá-lo:
summ=-2^infty am (r + m)(r + m -1) x^r + m - sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n - sumn=0^infty an (r + n) x^r + n + lambda sumn=0^infty an x^r + n = 0
No entanto, para m = -2 e m = -1, os coeficientes am não estão definidos (assumimos am = 0 para m < 0). Portanto, podemos ajustar as somas para começarem de n=0:
sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n - sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n - sumn=0^infty an (r + n) x^r + n + lambda sumn=0^infty an x^r + n = 0

Passo 7

Observamos que os primeiros dois termos cancelam:
sumn=0^infty [ - (r + n) an + lambda an ] x^r + n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero:
- (r + n) an + lambda an = 0 implies (lambda - (r + n)) an = 0

Passo 8

Para não termos a trivialidade an = 0 para todos os n, precisamos que o fator multiplicador seja zero:
lambda - (r + n) = 0 implies lambda = r + n
Isso indica que lambda deve ser igual a r + n, onde n é um número inteiro não-negativo ( n = 0, 1, 2, dots).

Passo 9

Agora, vamos determinar o valor de r. Para isso, usamos a equação indicial, que é obtida considerando os menores poderes de x na série. Observando a equação original e os termos substituídos, percebemos que r deve satisfazer a relação que garante a ausência de termos divergentes.
Assumindo n = 0, temos:
lambda = r + 0 implies lambda = r
Mas precisamos considerar que a solução deve ser válida nos pontos singulares, o que nos leva a considerar r de forma que a série seja finita, ou seja, um polinômio.

Passo 10

Para que a solução seja um polinômio, a série deve terminar em algum ponto, ou seja, existir um n = N tal que aN+1 = 0. Isso só acontece se lambda = r + N, onde N é o grau do polinômio.
Portanto, os valores de lambda que tornam a solução analítica e polinomial são:
lambda = r + N para N = 0, 1, 2, dots

Resposta

Os valores de lambda que permitem que a solução seja um polinômio analítico nos pontos singulares são lambda = r + N, onde N é um número inteiro não-negativo ( N = 0, 1, 2, dots). Dessa forma, a solução obtida pelo Método de Frobenius é um polinômio de grau N.

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