Considere a equação diferencial
Resolva a equação pelo método de Frobenius (em torno de
) e ache os valores de
tais que uma das soluções seja analítica nos pontos singulares. Mostre que essa solução é um polinômio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. O enunciado nos dá a equação
Nosso objetivo é encontrar os valores de
para os quais uma das soluções dessa equação é analítica nos pontos singulares e mostrar que essa solução é um polinômio. Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares de equações diferenciais e como o Método de Frobenius nos ajuda a encontrar soluções em torno desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação. Uma equação diferencial de segunda ordem pode ter pontos singulares onde os coeficientes das derivadas não são analíticos. Na nossa equação:
Os coeficientes são
,
e
. O ponto singular acontece quando
, ou seja, quando
. Porém, como queremos resolver em torno de
, que não é um ponto singular, estamos trabalhando em uma região regular. Mas, como
são pontos onde a equação pode se comportar de forma especial, precisamos analisar a solução perto desses pontos.
Passo 3
Agora vamos aplicar o Método de Frobenius. Esse método é usado para encontrar soluções de equações diferenciais perto de pontos singulares regulares. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de
, ou seja:
onde
é um número que precisamos determinar, e
são coeficientes a serem encontrados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Vamos distribuir o
:
Passo 6
Vamos reescrever as séries para que todas tenham o mesmo expoente de
, facilitando a comparação dos coeficientes. Vamos ajustar os índices das somas quando necessário.
Primeiro, o termo com
, vamos substituir
para alinhá-lo:
No entanto, para
e
, os coeficientes
não estão definidos (assumimos
para
). Portanto, podemos ajustar as somas para começarem de
:
Passo 7
Observamos que os primeiros dois termos cancelam:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Para não termos a trivialidade
para todos os
, precisamos que o fator multiplicador seja zero:
Isso indica que
deve ser igual a
, onde
é um número inteiro não-negativo (
).
Passo 9
Agora, vamos determinar o valor de
. Para isso, usamos a equação indicial, que é obtida considerando os menores poderes de
na série. Observando a equação original e os termos substituídos, percebemos que
deve satisfazer a relação que garante a ausência de termos divergentes.
Assumindo
, temos:
Mas precisamos considerar que a solução deve ser válida nos pontos singulares, o que nos leva a considerar
de forma que a série seja finita, ou seja, um polinômio.
Passo 10
Para que a solução seja um polinômio, a série deve terminar em algum ponto, ou seja, existir um
tal que
. Isso só acontece se
, onde
é o grau do polinômio.
Portanto, os valores de
que tornam a solução analítica e polinomial são:
Resposta
Os valores de
que permitem que a solução seja um polinômio analítico nos pontos singulares são
, onde
é um número inteiro não-negativo (
). Dessa forma, a solução obtida pelo Método de Frobenius é um polinômio de grau
.