Questão 24. (Função quadrática)
Para cada uma das funções abaixo, determine: (i) A interseção com o eixo-x; (ii) a interseção com o eixo-y; (iii) as coordenadas do vértice; (iv) o domínio e a imagem e (v) o esboço do gráfico.
f(x)=x^2+6 x+8

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=x^2+6x+8
e pede: (i) interseção com o eixo- x; (ii) interseção com o eixo- y; (iii) vértice; (iv) domínio e imagem; (v) esboço do gráfico. Para isso vamos usar fatoração para as raízes, avaliação em x=0 para a interseção com o eixo- y, fórmula do vértice xv=-tfracb2a, e o fato de que coeficiente de x^2 positivo implica imagem com mínimo no vértice.

Passo 2

Para a interseção com o eixo- x resolvemos
x^2+6x+8=0
Fatorando,
x^2+6x+8=(x+2)(x+4)=0,
logo as raízes são
x=-2e x=-4,
isto é, os pontos (-2,0) e (-4,0).

Passo 3

Para a interseção com o eixo- y basta calcular f(0):
f(0)=0^2+6cdot0+8=8,
logo o ponto é (0,8).

Passo 4

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c está em
xv=-b2a=-62cdot1=-3
Substituindo em f:
yv=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1
Portanto o vértice é (-3,-1).

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e não há restrição em x, então
Domínio=R í
O valor mínimo de f ocorre no vértice, valendo -1, e cresce para infty, de modo que
Ima>=m=[-1,infty)

Passo 6

Esboço do gráfico: parábola com eixo de simetria em x=-3, vértice em (-3,-1), cortando o eixo- x em (-4,0) e (-2,0) e o eixo- y em (0,8).
y
\uparrow
10
8 ┤ *
(0,8)
6
4
2
0 ┼────────────────\to x
- 4 - 2
- 2
- 4 ┤ V
- 6 ┤ (-3,-1)
- 8 \text{ ┤

Resposta

(i) (-4,0) e (-2,0)
(ii) (0,8)
(iii) Vértice em (-3,-1)
(iv) Domínio R, Imagem [-1,infty)
(v) Esboço conforme acima: parábola aberta para cima com vértice em (-3,-1) e interceptos indicados.

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