Questão 24. (Função quadrática)
Para cada uma das funções abaixo, determine: (i) A interseção com o eixo-x; (ii) a interseção com o eixo-y; (iii) as coordenadas do vértice; (iv) o domínio e a imagem e (v) o esboço do gráfico.
Para cada uma das funções abaixo, determine: (i) A interseção com o eixo-x; (ii) a interseção com o eixo-y; (iii) as coordenadas do vértice; (iv) o domínio e a imagem e (v) o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função quadrática
e pede:
(i) interseção com o eixo- ;
(ii) interseção com o eixo- ;
(iii) coordenadas do vértice;
(iv) domínio e imagem;
(v) esboço do gráfico.
(i) interseção com o eixo-
(ii) interseção com o eixo-
(iii) coordenadas do vértice;
(iv) domínio e imagem;
(v) esboço do gráfico.
Conteúdo usado: resolução de equação quadrática, fórmula do vértice, análise de concavidade e extremos.
Passo 2
Para achar as interseções com o eixo
, igualamos
:
Multiplicando por
obtemos
cujo discriminante é
Logo as raízes são
Assim, as interseções são
e
.
Passo 3
A interseção com o eixo
corresponde a
. Logo,
dando o ponto
.
Passo 4
As coordenadas do vértice de uma parábola
são
Aqui
e
, então
Portanto o vértice é
.
Passo 5
O domínio de qualquer função polinomial é todo o conjunto dos números reais, isto é
. Como
, a parábola abre para baixo, tendo máximo em
. Logo a imagem é
Passo 6
Para esboçar o gráfico:
- É uma parábola com concavidade para baixo.
- Vértice em
. - Corta o eixo
em . - Corta o eixo
em .
Basta ligar esses pontos com a forma característica de parábola voltada para baixo.
Resposta
(i) Interseções com o eixo
:
,
.
(ii) Interseção com o eixo :
.
(iii) Vértice: .
(iv) Domínio: ; Imagem:
.
(v) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em , interceptos conforme acima.
(ii) Interseção com o eixo
(iii) Vértice:
(iv) Domínio:
(v) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em