Questão 24. (Função quadrática)
Para cada uma das funções abaixo, determine: (i) A interseção com o eixo-x; (ii) a interseção com o eixo-y; (iii) as coordenadas do vértice; (iv) o domínio e a imagem e (v) o esboço do gráfico.
f(x)=-3 x^2+6 x-2

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática f(x)=-3x^2+6x-2 e pede:
(i) interseção com o eixo- x;
(ii) interseção com o eixo- y;
(iii) coordenadas do vértice;
(iv) domínio e imagem;
(v) esboço do gráfico.
Conteúdo usado: resolução de equação quadrática, fórmula do vértice, análise de concavidade e extremos.

Passo 2

Para achar as interseções com o eixo x, igualamos f(x)=0:
-3x^2+6x-2=0
Multiplicando por -1 obtemos
3x^2-6x+2=0,
cujo discriminante é
De<a = (-6)^2-4cdot3cdot2=36-24=12
Logo as raízes são
x = 6pmraiz126 =1pmraiz33
Assim, as interseções são l(1-tfracraiz33,0r) e l(1+tfracraiz33,0r).

Passo 3

A interseção com o eixo y corresponde a x=0. Logo,
f(0)=-3cdot0^2+6cdot0-2=-2,
dando o ponto (0,-2).

Passo 4

As coordenadas do vértice de uma parábola ax^2+bx+c são
xv=-b2a, yv=f(xv)
Aqui a=-3 e b=6, então
xv=-62cdot(-3)=1, yv=f(1)=-3+6-2=1
Portanto o vértice é (1,1).

Passo 5

O domínio de qualquer função polinomial é todo o conjunto dos números reais, isto é R. Como a=-3<0, a parábola abre para baixo, tendo máximo em y=1. Logo a imagem é
(-infty,1]

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • É uma parábola com concavidade para baixo.
  • Vértice em (1,1).
  • Corta o eixo x em x=1pmtfracraiz33.
  • Corta o eixo y em (0,-2).
Basta ligar esses pontos com a forma característica de parábola voltada para baixo.

Resposta

(i) Interseções com o eixo x: l(1-tfracraiz33,0r), l(1+tfracraiz33,0r).
(ii) Interseção com o eixo y: (0,-2).
(iii) Vértice: (1,1).
(iv) Domínio: R; Imagem: (-infty,1].
(v) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em (1,1), interceptos conforme acima.

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