Considere a equação diferencial
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+lambda y=0
Quais são os pontos singulares dessa equação?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Legendre
(1 - x^2),y'' - x,y' + lambda,y = 0
e pede para encontrar os pontos singulares. Vamos usar o conceito de ponto ordinário e ponto singular para uma equação da forma
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
onde qualquer lugar em que p(x) ou q(x) deixem de ser analíticas é um ponto singular.

Passo 2

Colocamos a equação em forma normal dividindo por 1 - x^2:
y'' - x1 - x^2,y' + lambda1 - x^2,y = 0
Aqui
p(x) = -x1 - x^2, q(x) = lambda1 - x^2

Passo 3

Os potenciais problemas de analiticidade vêm dos denominadores de p(x) e q(x). Esses denominadores são iguais a 1 - x^2, que se anula quando
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm 1
Portanto em x=pm1 temos pontos em que p(x) e q(x) não são analíticas.

Passo 4

Para verificar se esses pontos são regulares ou irregulares, observamos que em x=pm1 as singularidades de p(x) e q(x) são polos de primeira e segunda ordem, respectivamente, em tais pontos. Isso satisfaz a condição de ponto singular regular (os resíduos de (x - x0)p(x) e (x - x0)^2q(x) são finitos). Logo x=1 e x=-1 são pontos singulares regulares.

Passo 5

O ponto x=infty não é singular, pois ao expandir para xtoinfty temos
p(x)sim 1x, q(x)sim 1x^2,
o que mostra que p e q são analíticas em x=infty. Portanto o único pontos singulares no plano complexo finito são x=pm1.

Resposta

Os pontos singulares são x=1 e x=-1, ambos sendo pontos singulares regulares.

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