Considere a equação diferencial
Quais são os pontos singulares dessa equação?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Legendre
e pede para encontrar os pontos singulares. Vamos usar o conceito de ponto ordinário e ponto singular para uma equação da forma
onde qualquer lugar em que
ou
deixem de ser analíticas é um ponto singular.
Passo 2
Colocamos a equação em forma normal dividindo por
:
Aqui
Passo 3
Os potenciais problemas de analiticidade vêm dos denominadores de
e
. Esses denominadores são iguais a
, que se anula quando
Portanto em
temos pontos em que
e
não são analíticas.
Passo 4
Para verificar se esses pontos são regulares ou irregulares, observamos que em
as singularidades de
e
são polos de primeira e segunda ordem, respectivamente, em tais pontos. Isso satisfaz a condição de ponto singular regular (os resíduos de
e
são finitos). Logo
e
são pontos singulares regulares.
Passo 5
O ponto
não é singular, pois ao expandir para
temos
o que mostra que
e
são analíticas em
. Portanto o único pontos singulares no plano complexo finito são
.
Resposta
Os pontos singulares são
e
, ambos sendo pontos singulares regulares.