Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e a identidade
.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e a identidade
Passo 2
Primeiro definimos
, assim
. A derivada de
em relação a
é
. Como
e
, temos
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia de novo, onde a derivada de
em relação a
é
, obtemos
Passo 4
Para a mista
, derivamos
em relação a
. Como
, vem
Pelo teorema de Schwarz,
Passo 5
Finalmente, para
derivamos
em relação a
, usando
, e obtemos