Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=sen^2(a x+b y)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=sin^2(ax+by).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e a identidade
sin(2u)=2sin(u)cos(u).

Passo 2

Primeiro definimos u=ax+by, assim
f(x,y)=sin^2(u). A derivada de sin^2(u) em relação a u é
2sin(u)cos(u)=sin(2u). Como
partial upartial x=a e partial upartial y=b, temos
partial fpartial x = a,sinl(2(ax+by)r)
partial fpartial y = b,sinl(2(ax+by)r)

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x em relação a x. Aplicando a regra da cadeia de novo, onde a derivada de sin(2u) em relação a x é 2cos(2u),partial upartial x=2acos(2u), obtemos
partial^2 fpartial x^2 = 2a^2,cosl(2(ax+by)r)

Passo 4

Para a mista partial^2 fpartial xpartial y, derivamos partial fpartial x=asin(2u) em relação a y. Como partial upartial y=b, vem
partial^2 fpartial xpartial y = 2ab,cosl(2(ax+by)r)
Pelo teorema de Schwarz,
partial^2 fpartial ypartial x =partial^2 fpartial xpartial y

Passo 5

Finalmente, para partial^2 fpartial y^2 derivamos partial fpartial y=bsin(2u) em relação a y, usando partial upartial y=b, e obtemos
partial^2 fpartial y^2 = 2b^2,cosl(2(ax+by)r)

Resposta

partial^2 fpartial x^2 = 2a^2,cosl(2(ax+by)r)
partial^2 fpartial xpartial y = 2ab,cosl(2(ax+by)r)
partial^2 fpartial ypartial x = 2ab,cosl(2(ax+by)r)
partial^2 fpartial y^2 = 2b^2,cosl(2(ax+by)r)

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