Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(cos x)^e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos derivar a função f(x) = (cos x)^e^x usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve derivadas de funções potenciais com expoente variável, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Temos:
ln y = e^x ln(cos x)

Passo 3

Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, a derivada de ln y é y'/y. Do lado direito, aplicamos a regra do produto:
y'y = ddxl(e^x ln(cos x)r)

Passo 4

Cálculo da derivada do produto:
ddx(e^x ln(cos x)) = e^x ln(cos x) + e^x cdot ddx[ln(cos x)]
Como ddx[ln(cos x)] = -tan x, obtemos:
ddx(e^x ln(cos x)) = e^xl(ln(cos x) - tan xr)

Passo 5

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y ; e^xl(ln(cos x) - tan xr)
Como y = (cos x)^e^x, concluímos:
dydx = (cos x)^e^x;e^xl(ln(cos x) - tan xr)

Resposta

(cos x)^e^x;e^xl(ln(cos x) - tan xr)

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