Derive:
y=x^2 tg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^2tanl(2xr)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto, a derivada da função tangente e a regra da cadeia para o argumento 2x.

Passo 2

Pela regra do produto, se y = ucdot v então
y' = u',v + u,v'
Aqui tomamos
u(x) = x^2, v(x) = tanl(2xr)
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y' = l(x^2r)',tanl(2xr) + x^2,l[tanl(2xr)r]'

Passo 3

Calculamos l(x^2r)' = 2x. Substituindo no primeiro termo:
l(x^2r)' tanl(2xr) = 2x,tanl(2xr)

Passo 4

Agora derivamos tanl(2xr). A derivada de tan(u) é sec^2(u),u'. Aqui u=2x e u'=2, então
l[tanl(2xr)r]' = sec^2l(2xr)times 2 = 2,sec^2l(2xr)
Multiplicando por x^2 (segundo termo da regra do produto):
x^2,l[tanl(2xr)r]' = x^2cdot 2,sec^2l(2xr) = 2x^2,sec^2l(2xr)

Passo 5

Somando os dois termos obtidos:
y' = 2x,tanl(2xr) + 2x^2,sec^2l(2xr)
Podemos ainda fatorar 2x:
y' = 2xl[tanl(2xr) + x,sec^2l(2xr)r]

Resposta

y' = 2x,tanl(2xr) + 2x^2,sec^2l(2xr)

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